我是按照這里的思路來(lái)的。這個(gè)博文只是感性理解。

遞歸樹(shù)

關(guān)于遞歸樹(shù)，這篇博文講的很好，我只是給自己總結(jié)一下。

定義vis數(shù)組，在dfs連通圖時(shí)賦予它們不同的含義：

vis=0，表示這個(gè)點(diǎn)沒(méi)有被訪問(wèn)。

vis=1，表示這個(gè)點(diǎn)被訪問(wèn)了，但是它的孩子還沒(méi)有訪問(wèn)完。

vis=2，表示這個(gè)點(diǎn)被訪問(wèn)了，并且它的孩子訪問(wèn)完了。

一個(gè)連通圖，一定可以表示成一個(gè)遞歸樹(shù)，加上一些邊。這些邊的種類有：

樹(shù)邊，也就是遞歸樹(shù)上的邊。表現(xiàn)為訪問(wèn)(u, v)時(shí)，\(vis[v]=0\)。

回邊，是一個(gè)點(diǎn)連向它遞歸樹(shù)上的祖宗的邊。表現(xiàn)為\(vis[v]=1\)。

前向邊，是一個(gè)點(diǎn)連向它遞歸樹(shù)上的子孫后代的邊。表現(xiàn)為\(vis[v]=2\)。

橫邊，是一個(gè)除了前三種邊以外的邊，也就是說(shuō)u和v沒(méi)有什么祖宗關(guān)系。表現(xiàn)為\(vis[v]=2\)。

一個(gè)強(qiáng)連通的東西，必定在一棵遞歸樹(shù)上，不會(huì)分散到多個(gè)上。不然那東西就不連通了，想要強(qiáng)連通更是不可能。

對(duì)了，如果將dfs訪問(wèn)到的時(shí)間，給遞歸樹(shù)上的點(diǎn)編號(hào)，一個(gè)點(diǎn)的祖先的編號(hào)一定比這個(gè)點(diǎn)小。

tarjan搞一次出棧的一定是一個(gè)強(qiáng)連通的東西

還記得tarjan里，判斷一個(gè)點(diǎn)是否出棧的依據(jù)嗎？就是\(dfn[u]=low[u]\)。這意味著在u的子結(jié)點(diǎn)中，沒(méi)有回往u以上的邊，不然\(low[u]<dfn[u]\)。所以根據(jù)tarjan算法，如果u出棧，出棧的東西中編號(hào)最小的就是u。出棧的東西應(yīng)該類似于這樣（沒(méi)畫(huà)有向邊，所以腦補(bǔ)吧）：

也就是說(shuō)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)只有間接連向u，才能和u組成一個(gè)強(qiáng)連通的東西。這導(dǎo)致強(qiáng)連通分量在遞歸樹(shù)上，其實(shí)就是一堆鏈的集合體，也就是樹(shù)。

重點(diǎn)來(lái)了。如果tarjan搞出來(lái)的東西中，有一些點(diǎn)不和其它點(diǎn)強(qiáng)連通，說(shuō)明它不能間接連向u，而是會(huì)間接連向u的一個(gè)兒子v。如果\(low[v]<dfn[v]\)，這個(gè)點(diǎn)又可以間接連向\(low[v]\)...，以此類推，最終連向一個(gè)可以出棧的點(diǎn)，那個(gè)點(diǎn)u的是兒子。這就證明了，一次出棧搞出來(lái)的東西，和u都是強(qiáng)連通的。

tajan一次搞出來(lái)的，一定是一個(gè)強(qiáng)連通分量

這個(gè)標(biāo)題和前面哪一個(gè)的區(qū)別是什么呢？就是一個(gè)是“東西”，一個(gè)是“分量”。分量意味著它大的不能再大了。所以這里要證明（彌天大霧，其實(shí)我這個(gè)根本不算證明）的，就是一次tarjan搞出來(lái)的，最小結(jié)點(diǎn)為u的強(qiáng)連通分量中，不會(huì)有其它點(diǎn)被遺漏。至于這個(gè)證明，我貼一個(gè)引用過(guò)來(lái)：

假設(shè)出棧的部分不完整，則本應(yīng)該在這次出棧的點(diǎn)可能存在于棧的哪些部分呢？
1.之前出棧的部分
2.還沒(méi)有入棧的部分
3.還沒(méi)有出棧的部分
首先看2，不可能。因?yàn)榧偃鐩](méi)有入棧，說(shuō)明這些點(diǎn)沒(méi)有在這棵深度優(yōu)先搜索樹(shù)中，假如這些點(diǎn)在本該在該強(qiáng)連通分量中，則和定理1相違背，所以情況2中不可能包含本應(yīng)該出棧的強(qiáng)連通分量中的點(diǎn)。再看3，也不可能。3中的點(diǎn)的dfn 和 low都分別小于本次出棧的點(diǎn)的dfn和low，也就說(shuō)明本次出棧的點(diǎn)都無(wú)法訪問(wèn)到還沒(méi)有出棧的點(diǎn)，所以情況3中不可能包含本應(yīng)該出棧的強(qiáng)連通分量中的點(diǎn)。最后看情況1，其實(shí)情況1和情況3是類似的，之前出棧的部分A如果和本次出棧的強(qiáng)連通分量B可以組成更大的強(qiáng)連通分量，這就等價(jià)于，以之前出棧的強(qiáng)連通分量A為視角，亦是說(shuō)A是不完整的，A中缺少的部分在還未出棧的節(jié)點(diǎn)和還沒(méi)有訪問(wèn)的節(jié)點(diǎn)之中。這和之前的情況2，情況3推導(dǎo)矛盾，所以，情況1也不可能。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/7966152.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的tarjan求强连通分量的思考的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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