并不覺(jué)得今天學(xué)到了什么東西…感覺(jué)像上了數(shù)學(xué)課一樣…

很對(duì)勁的太刀流->

一、枚舉法

初二數(shù)學(xué)就有提到的。不過(guò)，有時(shí)算出的概率和直覺(jué)并不相符，所以并不能直接憑感性認(rèn)識(shí)，并不對(duì)勁的人有時(shí)還得理性分析的。下面說(shuō)幾道不太符合直覺(jué)的題：

（1）A對(duì)B說(shuō)：“我有個(gè)兄弟姐妹，你猜猜這個(gè)人和我是同性還是異性呢？”這時(shí)B猜同性還是異性更容易猜對(duì)？

聽(tīng)上去猜哪一個(gè)都沒(méi)有區(qū)別，然而事實(shí)上并不。假設(shè)A的性別是a，與A異性是b，那么A家的孩子有這幾種可能：aa,ab,ba,bb。這四種都是等可能的。但是由于A已經(jīng)是a性別的了，所以bb這種組合就被排除了，只剩下ab,ba,aa這三種情況。剛剛說(shuō)過(guò)它們是等可能的，也就是ab,ba,aa三種情況各占1/3的概率。這樣，A的兄弟姐妹的性別是b的概率就是2/3了。

（1.5）A看B遲遲不肯回答，就又說(shuō)到：“這個(gè)人比我小。”這時(shí)B該猜什么呢？

照著上一題的思路，會(huì)發(fā)現(xiàn)ba這一種情況被排除了，只剩下ab,aa兩種等可能情況，所以B猜什么都是一樣的。

也就是說(shuō)，有兄弟姐妹的人可以用這個(gè)方法去坑別人了。

（2）有三扇門(mén)，其中一扇有車，另外兩扇后是山羊。A知道門(mén)后的情況。A讓B選一扇門(mén)，B想選到汽車。B選定了一扇門(mén)。這個(gè)A比較貪玩，故意打開(kāi)了一扇B沒(méi)有選、里面還是山羊的門(mén)。A問(wèn)B要不要換，B該如何回答？好像是一個(gè)很經(jīng)典的問(wèn)題。

先分析可能會(huì)出現(xiàn)等可能的車-羊-羊、羊-車-羊、羊-羊-車這三種情況。假設(shè)B一開(kāi)始選了第一扇門(mén)，那么對(duì)于第一種情況而言，換門(mén)肯定對(duì)他不利。而對(duì)于后兩種情況而言，由于A已經(jīng)打開(kāi)了另一扇門(mén)后是羊的門(mén)（B肯定不會(huì)傻到換為A打開(kāi)的那扇有羊的門(mén)），所以他一定會(huì)換成有車的門(mén)。這樣一來(lái)，換后有車的概率是2/3。也可以這樣理解：只有第一次選中時(shí)換門(mén)對(duì)B不利，第一次選中的概率是1/3，那么換門(mén)不利的概率也是1/3。這樣一來(lái)，B就最好換門(mén)了。也可以夸張一些看成，A有100扇門(mén)，一扇后面是汽車，其它的后面都是山羊。在B選中后，A打開(kāi)了98扇后面是山羊的門(mén)，問(wèn)B要不要換成另一扇沒(méi)開(kāi)的門(mén)。只要B第一次沒(méi)選中，換門(mén)都會(huì)使他拿到汽車。第一次沒(méi)選中的概率是99/100，所以換門(mén)拿到車的概率是99/100。雖然按照平常的生活經(jīng)驗(yàn)，做選擇題時(shí)改來(lái)改去反而容易錯(cuò)（這不是因?yàn)榇绬帷?#xff09;。

（3）B不舒服，想知道生了什么病。不幸的是，他在醫(yī)院被查出【某種很重的病】。這種病的患病率是一萬(wàn)分之一。由于醫(yī)院條件一般，有1%的概率誤診（就是一百個(gè)人中有一個(gè)有病當(dāng)成沒(méi)病或沒(méi)病當(dāng)成有病）。B仍抱有一絲僥幸心理，他想知道他患病和未患病的概率哪個(gè)更高？

聽(tīng)上去B已經(jīng)兇多吉少了。但是本著助人為樂(lè)是精神還是給他算一算比較好。假設(shè)一共有1,000,000個(gè)人，那么其中患【某種很重的病】的有100人。可以列出以下表格：

會(huì)發(fā)現(xiàn)被檢測(cè)出患病的人中，竟然有大部分是沒(méi)患病的！這樣B未患病的概率就更高了。

照這么來(lái)說(shuō)，是不是平時(shí)被診斷為有病了，也不用擔(dān)心呢？想必不是。去醫(yī)院的人大多是不舒服，更有可能是患病了。而且醫(yī)院的誤診率也比本題中低多了。

（3.5）遺憾的是，B確實(shí)得了【某種很重的病】。A推薦了兩家醫(yī)院：甲醫(yī)院致死率有10%，乙醫(yī)院致死率有1%。B要不要問(wèn)些別的信息再作決定？

反例：

這時(shí)得了重病的B最好還是不要去乙醫(yī)院。

（4）A有一個(gè)不透明袋子里有3個(gè)紅球，2個(gè)白球。這些球質(zhì)量、材料、形狀、大小都完全一樣。B先摸出一個(gè)球，再放回去，再摸出一個(gè)球。這兩次摸出的紅球個(gè)數(shù)的期望E(X)是多少？如果不把第一次摸出的球放回去，這兩次摸出的紅球個(gè)數(shù)的期望E(Y)是多少？

此時(shí)最好冷靜地列表枚舉摸出紅球的個(gè)數(shù)：

這樣就可以得出E(X)=(9/25)*2+(12/25)*1+(4/25)*0=1.2。

對(duì)于不放回的情況，也可以列表：

也就能得出E(Y)=(6/20)*2+(12/20)*1+(2/20)*0=1.2。

神奇的事是，E(X)=E(Y)=1.2！這個(gè)1.2有什么神奇的?想必是2*(紅球數(shù)/總球數(shù))吧。

腦筋急轉(zhuǎn)彎結(jié)束了，下面進(jìn)入正題。

二、全概率、全期望公式及其用法

先上公式：全概率公式：P(B)=ΣP(B|A_i)*P(A_i)；全期望公式：E(X)=ΣE(X|A_i)*P(A_i)；（X|A表示在A的條件下發(fā)生X的概率，所有A_i兩兩互不相容且其和為全集）

主要用法是根據(jù)這個(gè)列方程或者遞推式。下面來(lái)看幾道例題：

（1） A將B放進(jìn)了一個(gè)房間里，這個(gè)房間有編號(hào)分別為1、2、3的三扇門(mén)和一個(gè)天窗。其中1號(hào)門(mén)通向的通道走10分鐘后會(huì)走到外面，2號(hào)門(mén)通向的通道走3分鐘會(huì)從天窗掉回房間，3號(hào)門(mén)通向的通道走3分鐘也會(huì)從天花板掉回房間。B比較蠢，他不會(huì)走天窗，也不知道上一次走了什么門(mén)，所以每次只能隨機(jī)在三扇門(mén)中選一扇走了。問(wèn)B期望幾分鐘能走出去？

用枚舉法會(huì)發(fā)現(xiàn)走來(lái)走去會(huì)很亂，難以枚舉。但是可以這樣想：每次B有1/3的概率在10分鐘后出去，有1/3的概率在3分鐘后回到原狀態(tài)，有1/3的概率在5分鐘后回到原狀態(tài)。套用全期望公式，就可以列出這樣的式子：E(X)=10*(1/3)+(E(X)+3)*(1/3)+(E(X)+5)*(1/3)。最終解得E(X)=18。剛好是3+5+10，是巧合嗎？

（2）B喝醉了，站在懸崖的邊緣，他再走一步就會(huì)掉下去。他有1/2的概率向前走，有1/2的概率后退。A站在離懸崖10步遠(yuǎn)的地方，但是他比較懶，所以只有當(dāng)B走到A的位置時(shí)A才會(huì)將B帶離懸崖。問(wèn)B成功被A救的概率時(shí)多少？

和上一題類似地，考慮狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移。設(shè)P(X)為在距離懸崖X步的位置時(shí)獲救的概率。首先，當(dāng)X=10時(shí)，B必然會(huì)被A救，所以P(10)=1。當(dāng)X=9時(shí)，B有1/2的概率走到10，有1/2的概率走到8，所以P(9)=P(8)*(1/2)+P(10)*(1/2)。同理可得，P(8)=P(7)*(1/2)+P(9)*(1/2)，P(7)=P(6)*(1/2)+P(8)*(1/2)…，P(1)=P(0)*(1/2)+P(2)*(1/2)。當(dāng)B站在懸崖邊緣，也就是X=0時(shí)，他有1/2的概率掉下去，有1/2的概率走到距離懸崖為2的地方，所以P(0)=0*(1/2)+P(1)*(1/2)。會(huì)發(fā)現(xiàn)0，P(0)，P(1)，…，P(10)是一個(gè)等差數(shù)列，解得P(0)=1/11。B聽(tīng)上去被坑了的樣子。

（3）A有個(gè)不透明袋子，袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球。他還有無(wú)限個(gè)白球。所有的球質(zhì)量、材料、形狀、大小都完全一樣。A讓B去摸球，無(wú)論摸出的是什么顏色，都會(huì)放回去一個(gè)白球。A與B約定在n次操作后袋內(nèi)所有白球都給B。問(wèn)n次操作后，B拿到的球的個(gè)數(shù)X_n的期望？

?

?三、畫(huà)圖法

多用于幾何概型。

順便說(shuō)一句，對(duì)于幾何概型，必須明確隨機(jī)數(shù)的生成方式。如果不這么做就容易出這些事故：

（1）對(duì)于半徑為1的圓O，隨機(jī)求一條弦AB，問(wèn)AB>的概率。

?a.在圓O上隨機(jī)取點(diǎn)A,B，連接AB得出弦AB。這樣相當(dāng)于先固定A點(diǎn)（因?yàn)榈谝粋€(gè)點(diǎn)在哪都一樣），再隨機(jī)取B點(diǎn)。

如圖，弧AC等于弧CD等于弧AD。當(dāng)B在弧AC上或在弧AD上時(shí)，AB<，當(dāng)B在弧CD上時(shí)，AB＞。弧CD占整個(gè)圓的1/3，所以AB＞的概率是1/3。

b.取弦AB中點(diǎn)M，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)OM<1/2時(shí)AB>。

如圖，以O(shè)為圓心，以1/2為半徑，作小圓O。當(dāng)點(diǎn)M在小圓O內(nèi)部時(shí)，AB>。小圓O的面積是大圓O的1/4，所以AB>的概率是1/4。

如圖，作半徑OE，取線段OE的中點(diǎn)F。當(dāng)M在線段OF上時(shí)，AB>。OF=(1/2)OE，所以AB>的概率是1/2。

（2）在直角三角形ABC中，，，AC=1，隨機(jī)取一點(diǎn)M,問(wèn)的概率。

?在邊AC、AB、BC、整個(gè)平面上、三角形里、某個(gè)角里取點(diǎn)的答案都是不同的。

下面是幾道畫(huà)圖法的例題：

（1）平面上有無(wú)數(shù)條兩兩平行的直線，相鄰兩條之間距離為d。現(xiàn)在往平面上投一根針，針的長(zhǎng)度為l (l<d)，問(wèn)針與直線有交點(diǎn)的概率？

?

（2）圓周上隨機(jī)取三點(diǎn)A，B，C，問(wèn)圓心O在以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的概率？

?

（3）有一根長(zhǎng)度為1的棍子，隨機(jī)取棍子上兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)處切開(kāi)棍子，使它斷為三段。問(wèn)這三段能拼成一個(gè)三角形的概率？

?

（4）A早上會(huì)在7:00-8:00中隨機(jī)一個(gè)時(shí)刻出發(fā)去學(xué)校，B早上會(huì)在6:30-7:30中隨機(jī)一個(gè)時(shí)刻去拜訪A。問(wèn)B見(jiàn)到A的概率？

?

某道神題（因?yàn)椴恢涝撊绾螝w類）：共有2n+1個(gè)元件，每一個(gè)有p的概率正常工作，當(dāng)正常工作的總數(shù)達(dá)到n+1個(gè)時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)才能正常工作。問(wèn)：當(dāng)p=1/2時(shí)，系統(tǒng)正常工作的概率是多少？寫(xiě)出系統(tǒng)正常工作的概率f(n)的遞推式？

To be continued......

宣傳一波廣義嘔吐之光（現(xiàn)在是電教了（現(xiàn)在是電教G了（現(xiàn)在是電教X了（現(xiàn)在是電教XX了））））：

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的并不对劲的概率与期望的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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