一、基本概念

??回溯法，又稱為試探法，按選優條件向前不斷搜索，以達到目標。但是當探索到某一步時，如果發現原先選擇并不優或達不到目標，就會退回一步重新選擇，這種達不到目的就退回再走的算法稱為回溯法。

與窮舉法的區別和聯系：

相同點：它們都是基于試探的。

區別：窮舉法要將一個解的各個部分全部生成后，才檢查是否滿足條件，若不滿足，則直接放棄該完整解，然后再嘗試另一個可能的完整解，它并沒有沿著一個可能的完整解的各個部分逐步回退生成解的過程。而對于回溯法，一個解的各個部分是逐步生成的，當發現當前生成的某部分不滿足約束條件時，就放棄該步所做的工作，退到上一步進行新的嘗試，而不是放棄整個解重來。

二、基本思想

??對于可以使用回溯法來解決的問題，首先可以將其解空間可以看成一棵解空間樹。在回溯法中，每次擴大當前部分解時，都面臨一個可選的狀態集合（所有的子樹），每個樹結點代表一個可能的部分解。

??回溯法對任一解的生成，一般都采用逐步擴大解的方式。每前進一步，都試圖在當前部分解的基礎上擴大該部分解。它在問題的狀態空間樹中，從開始結點（根結點）出發，以深度優先搜索整個狀態空間。這個開始結點成為活結點，同時也成為當前的擴展結點。在當前擴展結點處，搜索向縱深方向移至一個新結點。這個新結點成為新的活結點，并成為當前擴展結點。如果在當前擴展結點處不能再向縱深方向移動，則當前擴展結點就成為死結點。此時，應往回移動（回溯）至最近的活結點處，并使這個活結點成為當前擴展結點。回溯法以這種工作方式遞歸地在狀態空間中搜索，直到找到所要求的解或解空間中已無活結點時為止。

三、解題步驟(思路)

針對給定的問題，定義問題的解空間；

確定易于搜索的解空間結構；

以深度優先方式搜索解空間，并且在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。（這里的剪枝函數就是判斷該結點是否滿足問題題設，如果滿足則向下搜索，不滿足則在此剪枝）

四、算法框架

1. 遞歸實現：

?變量解釋：

??x：存儲試探解的數組

??n：解空間樹的層數

??i：搜索目前所達到的層數

??start：子節點解空間的最小值

??end：子節點解空間的最大值

int x[n]; void backtrack (int i) {if (i > n) {回溯結束； } else {// 這里回溯子節點的解空間為start~endfor (j = start; j <= end; j++) {// 滿足條件，向下搜索if (j滿足題設條件) {x[i] = j;backtrack(i+1);// 不滿足條件，在此剪枝（即回溯）} else {}}} }

?2. 非遞歸實現：

?變量解釋：

??x：存儲試探解的數組

??n：解空間樹的層數

??i：搜索目前所達到的層數

??start：子節點解空間的最小值

??end：子節點解空間的最大值

void f_backtrack(int i) {//初始化解向量for (int j = 0; j < n; j++) {x[j] = 1;}while (i >= 1) {while (x[i] <= n) {if (place(i)) {if (i == n) {回溯結束；break;// 滿足條件，向下搜索} else {i++;x[i] = 1;}// 不滿足條件，在此剪枝（即回溯）} else {x[i]++;}}//遍歷完子節點解空間后，向上剪枝（即回溯）x[i] = 1;i--;x[i]++;} }

相比之下，遞歸設計方法比較簡單，而非遞歸方法，也就是循環方法設計細節比較多，但如果掌握了其特點，對不同問題的適用性很強（即代碼只需要很少的修改就可以應用到不同問題），加之其最大的優勢：效率更高（因為遞歸的實現是通過調用函數本身，函數調用的時候，每次調用時要做地址保存，參數傳遞等，這是通過一個遞歸工作棧實現的。具體是每次調用函數本身要保存的內容包括：局部變量、形參、調用函數地址、返回值。那么，如果遞歸調用N次，就要分配N局部變量、N形參、N調用函數地址、N返回值。這勢必是影響效率的。）

五、經典實現

經典問題：八皇后問題

??八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型例題。該問題是十九世紀著名的數學家高斯1850年提出：

??在8X8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處于同一行、同一列或同一斜線上（斜率為1），問有多少種擺法。高斯認為有76種方案。1854年在柏林的象棋雜志上不同的作者發表了40種不同的解，后來有人用圖論的方法解出92種結果。

遞歸實現為以下代碼中backtrack方法

非遞歸實現為以下代碼中f_backtrack方法：

#include <iostream> using namespace std; int n; int *x; int sum; bool place(int k) {for (int j = 1; j < k; j++)if (abs(x[k] - x[j]) == abs(k - j) || x[j] == x[k])return false;return true; }void output() {sum++; //sum為所有的可行的解for (int m = 1; m <= n; m++){cout << "<" << m << "," << x[m] << ">"; //這一行用輸出當遞歸到葉節點的時候，一個可行解}cout << endl; }void f_backtrack(int i) {for (int j = 0; j < n; j++){ //初始化解向量x[j] = 1;}while (i >= 1){while (x[i] <= n){if (place(i)){ //得到可行解if (i == n){output();break;} //得到最終可行解，退出else{ //得到部分可行解，搜索下一行i++;x[i] = 1;}}else{ //當前解不可行x[i]++;}}x[i] = 1;i--;x[i]++; //回溯} }void backtrack(int i) {if (i > n){output();}else{for (int j = 1; j <= n; j++){x[i] = j;if (place(i)){backtrack(i + 1);}else{}}} }int main() {n = 8;sum = 0;x = new int[n + 1];for (int i = 0; i <= n; i++)x[i] = 0;backtrack(1);cout << "方案共有" << sum << endl; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/codernie/p/9070015.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的五大经典算法之回溯法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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