引入1：單源最短路

問：求帶權有向圖上一個源點到其他點的最短路徑距離

如果沒有非負邊權，我們自然可以想到dij。但是如果有負邊權呢？這時候就要用SPFA算法求解。

原理&講解

用dis數組記錄源點到有向圖上任意一點距離，其中源點到自身距離為0，到其他點距離為INF。將源點入隊，并重復以下步驟：

• 隊首x出隊
• 遍歷所有以隊首為起點的有向邊(x,i)，若dis[x]+w(x,i)<dis[i]，則更新dis[i]
• 如果點i不在隊列中，則i入隊
• 若隊列為空，跳出循環；否則執行1

實際上我們可以將其理解為bfs

如果圖是隨機生成的，時間復雜度為 O(KM) （K可以認為是個常數，m為邊數，n為點數）

但是實際上SPFA的算法復雜度是 O(NM) ，可以構造出卡SPFA的數據，讓SPFA超時。

在NOI 2018的第一天第一題中，出題人卡了SPFA算法，導致100分變成60分，所以在沒有負環、單純求最短路徑，不建議使用SPFA算法，而是用Dijkstra算法。

在初一我們學到一條三角形中的性質，即同一三角形內兩邊之和大于第三邊。而最短路中如u->v的最短路它是小于等于其它任意路徑的，這使我們容易yy到三角形。也就是說，我們實際上每次都是在判斷這條路徑符不符合三角形不等式，若不符合，我們就將原先的路徑松弛為現在的路徑，使得現在的路徑滿足三角形不等式。但是為什么松弛后要將終點入隊呢？SPFA的過程是BFS，它是不停擴展節點的。而當我們更新了這一條路徑，那么可能會出現基于這一條路徑的新路，我們需要判斷原路與新路是否滿足三角形不等式。

模擬&代碼

我們可以手推這張圖模擬一下~

我們以1為源點，初始化：dis[源點]=0，其他為正無窮，并將源點入隊。

隊首1出隊，并枚舉它的出邊1->2,1->3。由dis[1]+w(1,2)=1<dis[2]=INF,dis[1]+w(1,3)=6<dis[3]=INF得dis[2]=dis[1]+w(1,2)=1,dis[3]=dis[1]+w(1,3)=6，并將2，3入隊。

隊首2出隊，枚舉它的出邊2->3,2->4,2->5。都不滿足三角形不等式，所以松弛它們。并將3，4，5入隊，但由于3已在隊內，所以不管。

隊首3出隊，沒有能松弛的邊，直接略過。

此時隊內剩下4，5，由于這兩點沒有出邊，所以在此不枚舉。

手繪勿噴

下面是帶注釋代碼：

#include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #define N 110000 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std;int n,m,a,b,c,vis[N],dis[N];struct node {int d,w; };//定義一個結構體來存儲每個入度點以及對應邊的權值 //比如邊u->v,權值為w,node結構體存儲的就是v以及w。vector<node>v[N];void spfa(int u);int main() {//對于N非常大但是M很小的這種稀疏圖來說，用鄰接矩陣N*N是存不下的。鄰接矩陣是將所有的點都存儲下來了，然而//對于稀疏圖來說，有很多點是沒有用到的，把這些點也存儲下來的話就會很浪費空間。可以用鄰接表來存儲，這里借助vector來實現鄰接表的操作。//用鄰接表存儲時候，只存儲有用的點，對于沒有用的點不存儲，實現空間的優化。cin>>n>>m;for(int i=0; i<=n; i++)v[i].clear();//將vecort數組清空for(int i=1; i<=m; i++) //用vector存儲鄰接表{node nd;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);nd.d=b,nd.w=c;//將入度的點和權值賦值給結構體v[a].push_back(nd);//將每一個從a出發能直接到達的點都壓到下標為a的vector數組中，以后遍歷從a能到達的點就可以直接遍歷v[a]// nd.d=a,nd.w=c;//無向圖的雙向存邊// v[b].push_back(nd);}spfa(1);if(dis[n]!=INF)printf("%d\n",dis[n]);elseprintf("impossible");return 0; } void spfa(int u){memset(vis,1,sizeof(vis));memset(dis,0x3f,sizeof(dis));dis[u]=0;queue<int> q;q.push(u);vis[u]=false;while (!q.empty()) {int x=q.front();q.pop();vis[x]=true;vector<node> s=v[x];for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {int v=s[i].d;if(dis[x]+s[i].w<dis[v]){dis[v]=dis[x]+s[i].w;if(vis[v]){q.push(v);vis[v]=false;}}}} }

引入2：判正(負)環

spfa算法還可以在有向圖內判正環負環，我們可以使用DFS/BFS版SPFA。注意，判負環跑最短路，判正環跑最長路。

#include<iostream> #include<vector> #include<algorithm> #include<cstring> #include<string> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<queue> #define N 110000 #define INF 0x3f3f3f3f using namespace std;int n,m,a,b,c,instack[N],dis[N],flag;struct node {int d,w; };//定義一個結構體來存儲每個入度點以及對應邊的權值 //比如邊u->v,權值為w,node結構體存儲的就是v以及w。vector<node>v[N];void spfa(int u);int main() {//對于N非常大但是M很小的這種稀疏圖來說，用鄰接矩陣N*N是存不下的。鄰接矩陣是將所有的點都存儲下來了，然而//對于稀疏圖來說，有很多點是沒有用到的，把這些點也存儲下來的話就會很浪費空間。可以用鄰接表來存儲，這里借助vector來實現鄰接表的操作。//用鄰接表存儲時候，只存儲有用的點，對于沒有用的點不存儲，實現空間的優化。cin>>n>>m;for(int i=0; i<=n; i++)v[i].clear();//將vecort數組清空for(int i=1; i<=m; i++) //用vector存儲鄰接表{node nd;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);nd.d=b,nd.w=c;//將入度的點和權值賦值給結構體v[a].push_back(nd);//將每一個從a出發能直接到達的點都壓到下標為a的vector數組中，以后遍歷從a能到達的點就可以直接遍歷v[a]// nd.d=a,nd.w=c;//無向圖的雙向存邊// v[b].push_back(nd);}memset(instack,0,sizeof(instack));memset(dis,0,sizeof(dis));flag=0;for(int i=1;i<=n;i++){spfa(i);if(flag)break;}if(flag)printf("Yes");else printf("No");return 0; } void spfa(int u){if(instack[u]){flag=1;return;}instack[u]=true;vector<node> s=v[u];for (int i = 0; i < s.size(); ++i) {if(dis[u]+s[i].w<dis[s[i].d]){dis[s[i].d]=dis[u]+s[i].w;spfa(s[i].d);if(flag)return;}}instack[u]=false; }

　　

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径之spfa的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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