設$f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{R}$是函數.使得$$\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)$$是絕對收斂的.那么$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}f(n,m))=\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)=\sum_{(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)=\sum_{m=0}^{\infty}(\sum_{n=0}^{\infty}f(n,m))$$

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證明：

我們先證$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}f(n,m))$是絕對收斂的.由于$\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|$是絕對收斂的，因此任意交換級數$\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|$的求和次序,收斂性和收斂到的值都不會變.所以可以任意挑選一種求和次序.所以$$\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}f(n,m)=\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)$$

對于任意的自然數$N$,$M$,$$\sum_{n=0}^{N}(\sum_{m=0}^{M}|f(n,m)|)\leq \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}|f(n,m)|$$
因此$$\sum_{n=0}^{N}(\sum_{m=0}^{\infty}|f(n,m)|)\leq \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}|f(n,m)|$$
因此$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}|f(n,m)|)\leq \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}|f(n,m)|$$

而且易證$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}|f(n,m)|)< \sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}|f(n,m)|$$是不可能的(為什么?)，因此$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}|f(n,m)|)=\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}|f(n,m)|=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{m+n=i}|f(n,m)|$$

這樣我們就證好了$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}f(n,m))$是絕對收斂的.

然后我們再證明$$\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{m=0}^{\infty}f(n,m))=\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)$$

（首先我們可以斷定絕對收斂必條件收斂）這很簡單，因為我們可以把數列$(\sum_{m=0}^{\infty}f(n,m))_{n=0}^{\infty}$分成兩個子列，一個子列$A$里的元素全非負，一個子列$B$里的元素全負.(可能某一個子列是空子列，這無妨).然后仿照陶哲軒實分析命題7.4.3, 討論起來就很簡單了.$\Box$

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注:有一個問題是，這個結論對于條件收斂級數成不成立呢？答案是不成立.因為對于條件收斂級數來說，即使是連$\sum_{(n,m)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}f(n,m)$也無法定義，這是因為條件收斂級數經過重排后未必收斂，即使收斂，也未必收斂到同一個值.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/03/3828195.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析 定理 8.2.2 (无限和的富比尼定理) 证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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