路邊兩個累壞的人，萊尼說：“喬治，給我講講物理吧”。喬治用手捋著胡子，說：“好的，萊尼，我用最少的內容給你講講物理最核心的理論思想”

什么是經典物理

經典物理（臺灣稱之為古典物理）指的是量子物理之前的物理，包括牛頓運動方程、麥克斯韋和法拉第的電磁場理論和愛因斯坦的相對論。經典物理不僅僅是具體現象的具體理論，還是一套原理和規則——所有不含量子不確定性現象背后的邏輯。這些一般規則稱為經典物理。（注：原文這里是Classical Mechanics，中文里Mechanics翻譯成力學，但是在英文，Mechanics的意思是How things go，Mechanics很多情況下與Physics是同義語。）

經典物理學的任務是預言未來。18世紀偉大的物理學家拉普拉斯說過如下著名的話：

我們可以把宇宙的當前狀態看做過去狀態的后果和未來狀態的起因。一位智者如果知道某個時刻驅動自然運動的所有的力和自然所有組成的位置，如果這位智者還有強大的能力對這些數據進行分析，則宇宙從龐然大物到細微原子，萬物的所有運動都包含在一個公式里。對于這位智者來說，沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，呈現在眼前。

在經典物理里，如果你知道某系統在某個時刻的一切，你還知道系統演化的方程，你就可以預言系統的未來，即經典物理學定律是決定論的。如果把過去和未來顛倒，我們看到的現在是一樣，則系統演化的方程還可以告訴我們系統的過去。即經典物理研究里，系統是可逆的。

簡單動力系統和態空間

粒子、場、波等諸如此類的研究對象的集合稱為系統。整個宇宙，或從周圍一切分割開來感受不到其他存在的一個系統，都稱為封閉系統。

練習1： 這個概念在理論物理里非常重要，讓我們思考一下，封閉系統到底是什么，是否存在。建立一個封閉系統，暗含哪些假設？什么又是開放系統？

要理解什么是決定論和可逆，我們從一些極其簡單的封閉系統談起。這些系統比理論物理通常研究的系統要簡單很多，但是遵循經典物理的基本規則。想象一個抽象的物體，只有一個狀態，比如粘在桌面上的正面朝上的硬幣。在物理學的行話里，一個系統可以存在的所有的狀態叫做態空間。態空間不是通常的我們生活的空間，態空間是一個數學集合，其元素是系統可能的狀態。這里，態空間只有一個點，即正面朝上（記作H）。預言這個系統的未來非常簡單，任何觀測都只有一個結果，正面朝上。

再考慮一個簡單系統，態空間有兩個點，想象一個抽象的物體，只有兩個狀態，比如一個硬幣，可以正面朝上（記作H），也可以反面朝上（記作T），見圖 1。

在經典物理里，我們認為，系統演化是連續的，沒有任何跳躍和中斷。很明顯，你不能使狀態從H連續地變成T，在這種情況下，必須要有跳躍。我們可以假設時間也是跳躍的，比如按整數跳躍。這種不連續的演化，稱為頻閃。

一個隨時間演化的系統稱為動力學系統。一個動力學系統不僅要有一個態空間，還要遵循一定規則，這種規則稱為運動定律，或動力學定律。動力學定律能告訴我們當前狀態之后的狀態。

一個簡單的動力學定律是，某個時刻不管處于何種狀態，下個時刻，狀態保持不變。在這種情況下，系統演化歷史只有兩種情況：H H H H H H . . .，或 T T T T T T . . . 。如圖2所示，箭頭表示系統演化方向，從H指向H，從T指向T。預測系統未來非常簡單，系統初始狀態為H，則系統就保持為H，系統初始狀態為T，則系統就保持為T。

另一個動力學定律是，不管當前處于何狀態，下一狀態與當前狀態相反。如圖3所示，箭頭從H指向T然后再指向H。系統未來也容易預測。如果初始狀態為H，則系統演化史為：H T H T H T H T H T . . . 。如果初始狀態為T，則系統演化史為T H T H T H T H . . . 。

動力學定律可以寫成方程的形式。描述系統的變量稱為自由度。硬幣有1個自由度，用希臘字母\(\sigma\)表示，\(\sigma\)只有兩個可能的取值，分別為 \(\sigma=1\) 或 \(\sigma=-1\)，分別表示H或T。我們還可以用一個符號表示時間。如果系統隨時間連續演化，我們可以用字母 \(t\) 表示。這里是離散演化，我們用字母
\(n\) 表示時間，時刻為 \(n\) 時系統的狀態可以用 \(\sigma(n)\) 表示。

下面我們用方程表示前面所說的兩個定律。第一個定律可表示為如下方程：
\[\sigma(n+1)=\sigma(n)\]
表述的意思是，在時刻\(n\)不管系統處于何狀態，下一時刻系統仍然處于此狀態。

第二個定律可表示為如下方程：
\[\sigma(n+1)=-\sigma(n)\]
表示系統每個時間步換一次狀態。

以上兩個例子中，系統未來的狀態都由初始狀態絕對決定，因此兩個定律均為決定論性定律。經典物理所有的基本定律都是決定論性定律。

下面我們做一些更有趣的例子，增大系統狀態的數目。收起硬幣，拿出色子。色子有6個可能的狀態。如圖4。

系統可能的定律的也多了，甚至難以用語言和方程表述，這時候我們可以用圖表示，如圖5就是一個動力學定律。圖5表示的意思是，色子的數值態每過一個時間步就增加1，數值態增加到6時，數值態在下一個時間步返回1，然后重復前述模式。這種模式稱為循環。如果系統初始狀態為3，則系統的演化歷史為：3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, . . . 。我們暫且稱此為動力學定律1。

圖6為動力學定律2。圖6看起來更亂，但邏輯上與圖5是一樣的，系統也是按一個循環走遍6個狀態。如果我們重新標記系統的狀態，動力學定律2與動力學定律1就變得完全一樣了。

并不是所有的動力學定律都是一樣的，比如圖7所示的動力學定律3。這個定律有兩個循環，如果從一個循環開始，不會到達另外一個循環。但是，這個動力學定律也是完全決定論的。不管你從哪里開始，未來都是確定的。比如，從狀態2開始，系統的演化歷史將是：2, 6, 1, 2, 6, 1, . . .，你不會到達狀態5。如果初始狀態為5，系統的歷史將是：5, 3, 4, 5, 3, 4, . . . ，你不會到達6。

圖8所示的動力學定律4有3個循環。

對于這個有6個狀態的系統，還可以寫出許許多多其他可能的動力學定律。

練習2： 對于一個6態系統，你能想出一個一般的方法，給所有可能的定律進行分類嗎？

不允許的規則：第-1定律

根據經典物理的規則，不是所有的定律都是合法的。動力學定律只是決定論的還不夠，還必須可逆。

可逆在物理學語境里的意思由多種描述方式。最簡約的描述是，如果你扭轉所有箭頭，所得的定律也是決定論性的定律。另一種描述是，定律能預言未來，也能確定過去。如拉普拉斯所說：“對于智者來說，沒有什么是不確定的，未來就像過去一樣，呈現在眼前。” 能想象一個定律預言未來是決定論的，而對確定過去不是決定論的？換句話說，能否構造不可逆的定律？確實可以，如圖9。

圖9所示的定律，知道你現在的狀態，就能知道你下一個狀態。如果你處于狀態1，你將到達狀態2，然后到達狀態3，然后到達狀態2。這一定律對預言未來沒有疑義。但是對確定過去就不同了。假設你現在狀態2，之前你處于什么狀態？可能是狀態3，也可能是狀態1，根據圖9無法確定。就可逆性來說，更糟糕的是，沒有狀態能到達狀態1，狀態1沒有過去。圖9所示的定律是不可逆的，為經典物理原理所禁止的情況。

把圖9的箭頭都扭轉，得到圖10所示的定律，該定律不能預言未來。

有一個簡單的規則能判斷一個圖表示的定律是否是決定論的可逆定律。如果每個狀態只有1個指向自己的箭頭，并且只有1個箭頭從自己指向外部，則此定律就是經典物理里合法的決定論的可逆定律。我們的口號是：必須有個箭頭告訴你往哪里去，還必須有個箭頭告訴你從哪里來。

動力學定律必須是決定論的和可逆的，這條規則在經典物理的地位如此核心，以致我們教這門課程的時候都忘了提。實際上，這條規則連個名字都沒有。我們本可以稱之為第一定律，可惜已經有了兩條第一定律——牛頓第一定律和熱力學第一定律，甚至還有熱力學第零定律。這條規則只好稱為第負一定律，以體現其在所有物理學定律里無可置疑的最基礎的地位。第負一定律的內容是信息守恒。信息守恒就是每個狀態都有一個箭頭指向自己，同時有個箭頭從自己向外指。信息守恒確保你能追溯到你所經歷的狀態。

信息守恒不是通常的守恒定律。我們先離題討論一下具有無窮多狀態的系統，然后再討論守恒定律。

　具有無窮多狀態的系統的動力學定律

目前為止，我們舉的例子，態空間具有的可能狀態的數目是有限的。沒有理由認為沒有具有無窮多狀態的動力學系統。比如，無窮多離散點組成的一條線，像一條火車道，沿線分布無窮多火車站。想象某種標記物按照某種規則從一個點跳到另一個點。為了描述這一系統，我們用整數標記沿線的各點，就像我們前面用整數標記時刻。因為我們已經用符號\(n\)表示離散的時間步，我們用\(N\)表示沿線的各點。標記物的歷史由函數\(N(n)\)表示，這個函數表示在時刻\(n\)標記物處于線上第\(N\)個點。圖11給出這個相空間的一部分。

圖12給出這個系統的一條動力學定律，每個時間步，標記物沿線的正方向走一個點。

這一定律是允許的，因為每個態都有指向自己的箭頭，同時也有從自己向外指的箭頭。這一定律可用如下方程表示：
\begin{equation}N(n+1)=N(n)+1 \label{eq:law1} \end{equation}

下面再舉幾條動力學定律，
\begin{equation} N(n+1)=N(n)-1 \label{eq:law2}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=N(n)+2 \label{eq:law3}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=N(n)^2 \label{eq:law4}\end{equation}
\begin{equation}N(n+1)=(-1)^{N(n)}N(n)\label{eq:law5}\end{equation}

練習3： 以上四條規則中，哪些是經典物理允許的動力學定律？

在方程\ref{eq:law1}中，從任何狀態開始，不管向未來走，還是向過去走，都可以到達其他任何一點，即此動力學定律有1個無限循環。而在方程\ref{eq:law3}中，從一個奇數\(N\)開始，你永遠不會達到一個偶數，即此動力學定律有2個無限循環。

我們還可以給系統增加不同性質的狀態，制造更多的循環，如圖13所示。

在圖13中，如果我們從一個數字開始，我們只能沿上邊的線行進。如果我們從A或B開始，我們只在A、B循環。

循環與守恒律

如果態空間被分成幾個循環，系統就會呆在初始狀態所在的循環里。每個循環都有自己的動力學規則，但是都同是一個態空間的組成部分，因為它們描述同一個動力學系統。讓我們考慮一個具有3個循環的系統。如圖14所示，態1和態2分屬各自的循環，而態3和態4屬于同一個循環。

只要一個動力學定律把態空間分成幾個這樣的循環，系統就會記住從哪個循環開始演化的，這種記憶叫做守恒律。守恒律告訴我們，隨著時間的流逝，有些事情保持不變。為了定量討論守恒律，我們給每個循環一個數值，記作\(Q\)。在圖15所示的例子里，3個循環分別標記為\(Q=+1\)、\(Q=-1\)和\(Q=0\)。不管\(Q\)值為多少，都不隨時間變化，因為動力學定律不允許系統從一個循環跳到另外一個循環。簡言之，\(Q\)守恒。

后面幾章，我們會研究時間和態空間都連續的問題。我們對簡單離散系統所做的討論都可以類比到更真實的系統。幾章之后，自會明白。

精確的極限

拉普拉斯可能對于預言世界過于樂觀了，即便在經典物理范圍內。他肯定也贊同，預言未來需要完全了解這個世界的動力學定律，還需要巨大的計算能力——他稱之為“智者有強大的能力對這些數據進行分析”。但是，還有一個因素拉普拉斯低估了：知道完全精確的初始條件的能力。想象一個具有100萬個面的色子，每個面都用差不多樣子的符號標記，符號之間只有細微差別，這樣的符號需要100萬個。某個人如果知道了動力學定律，并且能夠認出初始的符號，那么這個人就能夠預言這個100萬面的色子的未來。但是，如果拉普拉斯的智者如果眼神不好，他預言未來的能力就受到限制。

真實世界中，情況會更糟。態空間中的點不僅僅巨多，而是無窮多，還是連續的。換句話說，態空間是粒子坐標的實數集。實數非常密集，不管數值差別多小的兩個實數之間都還有無窮多的實數。能分辨的最小實數差即實驗的“分辨本領”，任何實驗的分辨本領都是有限的。原則上我們不會無限精確地知道初始條件。在絕大多數情況下，初始條件（即初態）的極細微的差別都會導致演化歷史有巨大差別。這種現象叫做叫做混沌。如果一個系統是混沌系統（絕大多數系統是混沌系統），則意味著不管分辨本領有多么強大，系統的可預測性也是有限的。絕對可預測性是無法達到的，原因很簡單，我們的分辨本領是有限的。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论物理极础1. 经典物理的本性的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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