4872: [Shoi2017]分手是祝愿

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Description

Zeit und Raum trennen dich und mich. 時(shí)空將你我分開(kāi)。B 君在玩一個(gè)游戲，這個(gè)游戲由 n 個(gè)燈和 n 個(gè)開(kāi)關(guān)組成，給定這 n 個(gè)燈的初始狀態(tài)，下標(biāo)為 從 1 到 n 的正整數(shù)。每個(gè)燈有兩個(gè)狀態(tài)亮和滅，我們用 1 來(lái)表示這個(gè)燈是亮的，用 0 表示這個(gè)燈是滅的，游戲 的目標(biāo)是使所有燈都滅掉。但是當(dāng)操作第 i 個(gè)開(kāi)關(guān)時(shí)，所有編號(hào)為 i 的約數(shù)（包括 1 和 i）的燈的狀態(tài)都會(huì)被 改變，即從亮變成滅，或者是從滅變成亮。B 君發(fā)現(xiàn)這個(gè)游戲很難，于是想到了這樣的一個(gè)策略，每次等概率隨機(jī) 操作一個(gè)開(kāi)關(guān)，直到所有燈都滅掉。這個(gè)策略需要的操作次數(shù)很多， B 君想到這樣的一個(gè)優(yōu)化。如果當(dāng)前局面， 可以通過(guò)操作小于等于 k 個(gè)開(kāi)關(guān)使所有燈都滅掉，那么他將不再隨機(jī)，直接選擇操作次數(shù)最小的操作方法（這個(gè) 策略顯然小于等于 k 步）操作這些開(kāi)關(guān)。B 君想知道按照這個(gè)策略（也就是先隨機(jī)操作，最后小于等于 k 步，使 用操作次數(shù)最小的操作方法）的操作次數(shù)的期望。這個(gè)期望可能很大，但是 B 君發(fā)現(xiàn)這個(gè)期望乘以 n 的階乘一定 是整數(shù)，所以他只需要知道這個(gè)整數(shù)對(duì) 100003 取模之后的結(jié)果。

Input

第一行兩個(gè)整數(shù) n, k。 接下來(lái)一行 n 個(gè)整數(shù)，每個(gè)整數(shù)是 0 或者 1，其中第 i 個(gè)整數(shù)表示第 i 個(gè)燈的初始情況。 1 ≤ n ≤ 100000, 0 ≤ k ≤ n；

Output

輸出一行，為操作次數(shù)的期望乘以 n 的階乘對(duì) 100003 取模之后的結(jié)果。

Sample Input

4 0
0 0 1 1

Sample Output

512

HINT

Source

黑吉遼滬冀晉六省聯(lián)考

首先一個(gè)狀態(tài)最少需要多少步是可以 O(N log N)算出來(lái)的，調(diào)和級(jí)數(shù)一下就好了。 而且我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于每一個(gè)狀態(tài)，用最小步數(shù)關(guān)掉所有燈的方案是唯一的，考慮從后向前掃描，是1就動(dòng)否則不動(dòng)，總是最優(yōu)的。 然后我們就設(shè) f[i] 為關(guān)掉所有燈的最小步數(shù)為i的期望答案。 顯然 當(dāng)i<=k的時(shí)候，f[i]=i；其他情況，f[i] = (i/n) * f[i-1] + ((n-i)/n) * f[i+1] 。 為什么隨機(jī)的式子是長(zhǎng)那個(gè)樣子的呢？ 前面已經(jīng)證明了對(duì)于每一個(gè)狀態(tài)，最小步數(shù)關(guān)掉所有燈的方案是唯一的。 而又因?yàn)榘礋舻捻樞虿挥绊懘鸢?#xff0c;所以有(i/n)的幾率最短步數(shù)減少； 但如果沒(méi)有按最短路上的燈，首先最短步數(shù)不會(huì)減少，因?yàn)樽疃搪肺ㄒ?#xff1b; 而且也不會(huì)不變，因?yàn)槿绻€按原來(lái)的套路按燈的話最后不會(huì)都滅； 那么按了不是最短方案的燈，會(huì)讓最短步數(shù)增加多少呢？ 只能是1，因?yàn)榭梢栽侔匆徊交厝ァ?/span> 我們可以發(fā)現(xiàn)的是，f[n] = f[n-1] + 1。 通過(guò)這個(gè)向前推，可以推出形如f[i] = f[i-1] + h[i]的式子，并且h[i] = (n / i) (1 + h[i+1] * (n-i) / n) 。 然后就可以直接從前往后遞推了，對(duì)于i<=k,f[i] = i；否則, f[i] = f[i-1] + h[i] 。 然后就可以A了2333 #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define maxn 100005 #define ha 100003 using namespace std; int n,k,T,a[maxn],opt[maxn]; int f[maxn],jc=1,inv[maxn],h[maxn];inline int add(int x,int y){x+=y;return x>=ha?x-ha:x; }inline void init(){inv[1]=1;for(int i=2;i<ha;i++) inv[i]=-inv[ha%i]*(ll)(ha/i)%ha+ha; }int main(){init();scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i),jc=jc*(ll)i%ha;for(int i=n;i;i--){for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) a[i]^=opt[j];if(a[i]) opt[i]=1,T++;}f[0]=0;for(int i=1;i<=k;i++) f[i]=i;h[n]=1;for(int i=n-1;i;i--) h[i]=add(n*(ll)inv[i]%ha,h[i+1]*(ll)(n-i)%ha*(ll)inv[i]%ha);for(int i=k+1;i<=T;i++) f[i]=add(f[i-1],h[i]);printf("%d\n",f[T]*(ll)jc%ha);return 0; }

　　

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/JYYHH/p/8521162.html

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2017 [六省联考] T5 分手是祝愿的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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