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之前介紹的所有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是線性存儲結(jié)構(gòu)。本章所介紹的樹結(jié)構(gòu)是一種非線性存儲結(jié)構(gòu)，存儲的是具有“一對多”關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。

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(A) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(B)? 圖 1 樹的示例

圖 1(A) 是使用樹結(jié)構(gòu)存儲的集合 {A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M} 的示意圖。對于數(shù)據(jù) A 來說，和數(shù)據(jù) B、C、D 有關(guān)系；對于數(shù)據(jù) B 來說，和 E、F 有關(guān)系。這就是“一對多”的關(guān)系。

將具有“一對多”關(guān)系的集合中的數(shù)據(jù)元素按照圖 1（A）的形式進(jìn)行存儲，整個(gè)存儲形狀在邏輯結(jié)構(gòu)上看，類似于實(shí)際生活中倒著的樹（圖 1（B）倒過來），所以稱這種存儲結(jié)構(gòu)為“樹型”存儲結(jié)構(gòu)。

樹的結(jié)點(diǎn)

結(jié)點(diǎn)：使用樹結(jié)構(gòu)存儲的每一個(gè)數(shù)據(jù)元素都被稱為“結(jié)點(diǎn)”。例如，圖 1（A）中，數(shù)據(jù)元素 A 就是一個(gè)結(jié)點(diǎn)；

父結(jié)點(diǎn)（雙親結(jié)點(diǎn)）、子結(jié)點(diǎn)和兄弟結(jié)點(diǎn)：對于圖 1（A）中的結(jié)點(diǎn) A、B、C、D 來說，A 是 B、C、D 結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)（也稱為“雙親結(jié)點(diǎn)”），而 B、C、D 都是 A 結(jié)點(diǎn)的子結(jié)點(diǎn)（也稱“孩子結(jié)點(diǎn)”）。對于 B、C、D 來說，它們都有相同的父結(jié)點(diǎn)，所以它們互為兄弟結(jié)點(diǎn)。

樹根結(jié)點(diǎn)（簡稱“根結(jié)點(diǎn)”）：每一個(gè)非空樹都有且只有一個(gè)被稱為根的結(jié)點(diǎn)。圖 1（A）中，結(jié)點(diǎn)A就是整棵樹的根結(jié)點(diǎn)。

樹根的判斷依據(jù)為：如果一個(gè)結(jié)點(diǎn)沒有父結(jié)點(diǎn)，那么這個(gè)結(jié)點(diǎn)就是整棵樹的根結(jié)點(diǎn)。

葉子結(jié)點(diǎn)：如果結(jié)點(diǎn)沒有任何子結(jié)點(diǎn)，那么此結(jié)點(diǎn)稱為葉子結(jié)點(diǎn)（葉結(jié)點(diǎn)）。例如圖 1（A）中，結(jié)點(diǎn) K、L、F、G、M、I、J 都是這棵樹的葉子結(jié)點(diǎn)。

子樹和空樹

子樹：如圖 1（A）中，整棵樹的根結(jié)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn) A，而如果單看結(jié)點(diǎn) B、E、F、K、L 組成的部分來說，也是棵樹，而且節(jié)點(diǎn) B 為這棵樹的根結(jié)點(diǎn)。所以稱 B、E、F、K、L 這幾個(gè)結(jié)點(diǎn)組成的樹為整棵樹的子樹；同樣，結(jié)點(diǎn) E、K、L 構(gòu)成的也是一棵子樹，根結(jié)點(diǎn)為 E。

注意：單個(gè)結(jié)點(diǎn)也是一棵樹，只不過根結(jié)點(diǎn)就是它本身。圖 1（A）中，結(jié)點(diǎn) K、L、F 等都是樹，且都是整棵樹的子樹。

知道了子樹的概念后，樹也可以這樣定義：樹是由根結(jié)點(diǎn)和若干棵子樹構(gòu)成的。

空樹：如果集合本身為空，那么構(gòu)成的樹就被稱為空樹。空樹中沒有結(jié)點(diǎn)。

補(bǔ)充：在樹結(jié)構(gòu)中，對于具有同一個(gè)根結(jié)點(diǎn)的各個(gè)子樹，相互之間不能有交集。例如，圖 1（A）中，除了根結(jié)點(diǎn) A，其余元素又各自構(gòu)成了三個(gè)子樹，根結(jié)點(diǎn)分別為 B、C、D，這三個(gè)子樹相互之間沒有相同的結(jié)點(diǎn)。如果有，就破壞了樹的結(jié)構(gòu)，不能算做是一棵樹。

結(jié)點(diǎn)的度和層次

對于一個(gè)結(jié)點(diǎn)，擁有的子樹數(shù)（結(jié)點(diǎn)有多少分支）稱為結(jié)點(diǎn)的度（Degree）。例如，圖 1（A）中，根結(jié)點(diǎn) A 下分出了 3 個(gè)子樹，所以，結(jié)點(diǎn) A 的度為 3。

一棵樹的度是樹內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的度的最大值。圖 1（A）表示的樹中，各個(gè)結(jié)點(diǎn)的度的最大值為 3，所以，整棵樹的度的值是 3。

結(jié)點(diǎn)的層次：從一棵樹的樹根開始，樹根所在層為第一層，根的孩子結(jié)點(diǎn)所在的層為第二層，依次類推。對于圖 1（A）來說，A 結(jié)點(diǎn)在第一層，B、C、D 為第二層，E、F、G、H、I、J 在第三層，K、L、M 在第四層。

一棵樹的深度（高度）是樹中結(jié)點(diǎn)所在的最大的層次。圖 1（A）樹的深度為 4。

如果兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)雖不相同，但是它們的父結(jié)點(diǎn)處在同一層次上，那么這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)互為堂兄弟。例如，圖 1（A）中，結(jié)點(diǎn) G 和 E、F、H、I、J 的父結(jié)點(diǎn)都在第二層，所以之間為堂兄弟的關(guān)系。

有序樹和無序樹

如果樹中結(jié)點(diǎn)的子樹從左到右看，誰在左邊，誰在右邊，是有規(guī)定的，這棵樹稱為有序樹；反之稱為無序樹。

在有序樹中，一個(gè)結(jié)點(diǎn)最左邊的子樹稱為"第一個(gè)孩子"，最右邊的稱為"最后一個(gè)孩子"。

拿圖 1（A）來說，如果是其本身是一棵有序樹，則以結(jié)點(diǎn) B 為根結(jié)點(diǎn)的子樹為整棵樹的第一個(gè)孩子，以結(jié)點(diǎn) D 為根結(jié)點(diǎn)的子樹為整棵樹的最后一個(gè)孩子。

森林

由 m（m >= 0）個(gè)互不相交的樹組成的集合被稱為森林。圖 1（A）中，分別以 B、C、D 為根結(jié)點(diǎn)的三棵子樹就可以稱為森林。

前面講到，樹可以理解為是由根結(jié)點(diǎn)和若干子樹構(gòu)成的，而這若干子樹本身是一個(gè)森林，所以，樹還可以理解為是由根結(jié)點(diǎn)和森林組成的。用一個(gè)式子表示為：

Tree =（root,F）

其中，root 表示樹的根結(jié)點(diǎn)，F 表示由 m（m >= 0）棵樹組成的森林。

樹的表示方法

除了圖 1（A）表示樹的方法外，還有其他表示方法：

? ? ? ? ? （A） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （B） 圖2 樹的表示形式
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圖 2（A）是以嵌套的集合的形式表示的（集合之間絕不能相交，即圖中任意兩個(gè)圈不能相交）。

圖 2（B）使用的是凹入表示法（了解即可），表示方式是：最長條為根結(jié)點(diǎn)，相同長度的表示在同一層次。例如 B、C、D 長度相同，都為 A 的子結(jié)點(diǎn)，E 和 F 長度相同，為 B 的子結(jié)點(diǎn)，K 和 L 長度相同，為 E 的子結(jié)點(diǎn)，依此類推。

最常用的表示方法是使用廣義表的方式。圖 1（A）用廣義表表示為：

(A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )

總結(jié)

樹型存儲結(jié)構(gòu)類似于家族的族譜，各個(gè)結(jié)點(diǎn)之間也同樣可能具有父子、兄弟、表兄弟的關(guān)系。本節(jié)中，要重點(diǎn)理解樹的根結(jié)點(diǎn)和子樹的定義，同時(shí)要會計(jì)算樹中各個(gè)結(jié)點(diǎn)的度和層次，以及樹的深度。

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總結(jié)

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