Upd-2019/2/17:添加了特殊數據的求解方式。

題目鏈接：http://codeforces.com/problemset/problem/1110/C

題意簡述

定義函數\(f(a)\)為：

\[f(a)=\max\limits_{0<b<a} \{\gcd(a\oplus b,a~\& ~b)\}\]

給定\(a_1,a_2,...,a_q\)對于\(q\)個詢問，求出\(f(a_1),f(a_2),...,f(a_q)\)。

題解

先放一個暴力代碼：

int f(int a) {int res=-1;for(int b=1;b<k;b++)res=max(res,__gcd(k^b,k&b));return res; }

然后華麗地TLE。

這種題一般都是找規律的，我們先打個表：

f( 2)= 3; f( 3)= 1; f( 4)= 7; f( 5)= 7; f( 6)= 7; f( 7)= 1; f( 8)= 15; f( 9)= 15; f( 10)= 15; f( 11)= 15; f( 12)= 15; f( 13)= 15; f( 14)= 15; f( 15)= 5; f( 16)= 31; f( 17)= 31; f( 18)= 31; f( 19)= 31; f( 20)= 31; f( 21)= 31; f( 22)= 31; f( 23)= 31; f( 24)= 31; f( 25)= 31; f( 26)= 31; f( 27)= 31; f( 28)= 31; f( 29)= 31; f( 30)= 31; f( 31)= 1; f( 32)= 63; f( 33)= 63; f( 34)= 63; f( 35)= 63; f( 36)= 63; f( 37)= 63; f( 38)= 63; f( 39)= 63; f( 40)= 63; ...... ......

我們驚喜的發現：除了\(f(2^{k}-1)\)是毫無規律的之外，其他的好像都于\(2^k-1\)有關。

先推出一個簡略的公式：

\[f(n)=2^{k+1}-1(2^k<=n<2^{k+1}-1)\]

稍微普遍化一下，即為：

\[f(n)=2^{\left\lfloor log_2n \right\rfloor+1}-1 (n\ne 2^{t+1}-1,0\le t\le2^{24},t\in \mathbb{Z}^{+})\]

這樣，我們就完成了一般數據的計算公式推導啦。

特殊數據呢？

打表！！！

map<int,int>table;table[1]=-1;table[3]=1;table[7]=1;table[15]=5;table[31]=1;table[63]=21;table[127]=1;table[255]=85;table[511]=73;table[1023]=341;table[2047]=89;table[4095]=1365;table[8191]=1;table[16383]=5461;table[32767]=4681;table[65535]=21845;table[131071]=1;table[262143]=87381;table[524287]=1;table[1048575]=349525;table[2097151]=299593;table[4194303]=1398101;table[8388607]=178481;table[16777215]=5592405;table[33554431]=1082401;

后來才發現：

\(f(2^{k}-1)\)也是可以求的！！！

當\(a=2^{k}-1\)時：

\[a\& b=b,a\oplus b=a-b\]

\(a=(111...11)_{(2)}\)

\[\therefore \gcd(a\oplus b,a~\& ~b)=\gcd(a-b,b)\]

根據更相損減術，可得：

\[\gcd(a-b,b)=\gcd(a,b)\]

現在只要求\(\max\limits_{0<b<a} \{\gcd(a,b)\}\)即可。

而要求\(\gcd(a,b)\)的最大值，顯然只要\(b(b\ne a)\)是\(a\)的最大因子即可。

main code

#include<bits/stdc++.h> using namespace std;inline int read(){int x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return f*x;} inline int log2(int a){return floor(log(a)/log(2));}inline int Calc(int a) {if(log2(a)!=log2(a+1))//判斷a是否為(1<<k)-1{register int b;for(b=2;(b*b<=a)&&(a%b);b++);//先求第二小的因子，再用a去除，即為最大因子。return __gcd(a,a/b);}return (1<<(log2(a)+1))-1; } signed main() {int Q;cin>>Q;for(int i=1;i<=Q;i++)cout<<Calc(read())<<endl;return 0; }

轉載于:https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/10388639.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[CodeForces1110C]Meaningless Operations的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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