接著上一篇博客四元數(shù)研究：www.cnblogs.com/liuzhenbo/p/10749458.html

為了規(guī)避Ambiguity的問題，我們給出另一種表述方向的方法：軸角表示(Axis-Angle-Representation)。跟歐拉角不同的是，我們這次不再采取多次旋轉(zhuǎn)的方式來找到目標(biāo)方向，而是找到一根旋轉(zhuǎn)軸，只通過繞這根軸旋轉(zhuǎn)一次就可以得到目標(biāo)方向。這樣就不會產(chǎn)生Ambiguity了嗎？是的，證明方法很簡單，首先以目標(biāo)矩陣原點為一角，三軸為三邊建立一個立方體，這個立方體中通過原點的對角線就是我們要找的旋轉(zhuǎn)軸，顯然，這個旋轉(zhuǎn)軸是唯一的，而我們知道，繞一個旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)不同角度，對應(yīng)的方向也是不同的（角度范圍（角度范圍??），由此可見，空間中任一位置的軸角表示是唯一的，不存在Ambiguity的問題。旋轉(zhuǎn)軸我們可以通過向量??來表示，旋轉(zhuǎn)角度我們可以通過一個度數(shù)??來表示，至此我們可以通過軸角表示??來描述方向。

?

一般來說，軸角表示方向時，會出現(xiàn)4個參數(shù)，其中3個用于表示旋轉(zhuǎn)軸，1個用于表示旋轉(zhuǎn)角大小。而如果我們規(guī)定了表示旋轉(zhuǎn)軸的向量為單位向量 ，考慮到 ，我們就可以用兩個參數(shù)表示出旋轉(zhuǎn)軸，總共只需要三個參數(shù)，跟歐拉角一樣多。旋轉(zhuǎn)向量我們可以用 表示，其中 是單位向量。順便提一句，這里的旋轉(zhuǎn)軸我們稱為歐拉軸(Euler axis)，這里的旋轉(zhuǎn)向量我們稱為歐拉向量(Euler vector)。是的，全是這個人自己在玩兒。
現(xiàn)在我們可以說說四元數(shù)了。我們引入四元數(shù)是為了更方便地計算軸角表示的方向變換。四元數(shù)是什么？四元數(shù)是復(fù)數(shù)，更具體地說四元數(shù)是存在三個虛部的復(fù)數(shù)。 ，其中i,j,k是虛數(shù)單位，滿足 ，且 ， 。為了讓大家更直觀地明白用四元數(shù)運算的優(yōu)點，我們簡單回顧一下高中學(xué)的復(fù)數(shù)運算。

加法：

乘法：

將四元數(shù)用于計算軸角表示運算時，我們通常寫成向量形式(vector representation) ，為了表達清晰和計算方便，我們將w,x,y,z的取值定位 ，并稱之為單位四元數(shù)，在方向計算時單位四元數(shù)中w,x,y,z分飾的角色我們后面會解釋。此時，復(fù)數(shù)乘法可表示為向量形式：

要注意這里出現(xiàn)的向量叉乘沒有交換率。

同時，我們也可以將乘法寫成矩陣形式，以用于和歐拉角計算作比較：

觀察此式，我們發(fā)現(xiàn)兩個四元數(shù)相乘，需要存儲8個單位數(shù)據(jù)，也就是說，每個參與運算的四元數(shù)只要存儲4個單位數(shù)據(jù) 即可。

此外我們還需要幾個特殊量和性質(zhì)：

• 四元數(shù)的模：
• 四元數(shù)共軛：
• 共軛的向量形式：
• 四元數(shù)倒數(shù)：
• 共軛與倒數(shù)的關(guān)系： 可見對于單位四元數(shù)
• 共軛與倒數(shù)的性質(zhì)： ，
• 四元數(shù)運算同時滿足結(jié)合律和分配律：

了解了上面的計算法則，我們就可以利用四元數(shù)來計算方向變換過程了。還記得我們之前說過計算時四元數(shù)我們用向量形式表示，且保證它是單位四元數(shù)嗎？其實四元數(shù)的向量形式我們還可以進一步改寫為極形式(polar representation)

，

其中 代表了四元數(shù)的模，單位四元數(shù)模為1，而 是四元數(shù)表示的旋轉(zhuǎn)過程的半角大小，也就是說 就是旋轉(zhuǎn)角大小， 則是表示旋轉(zhuǎn)軸方向的單位向量。用這種表示方法，四元數(shù)即可表示任意軸角表達的方向變換。方向變換的計算方法我們這里給出結(jié)論，大家可以自己通過計算來驗證一下，如有興趣也可以推導(dǎo)一下過程：

先將原向量坐標(biāo)表示為四元數(shù) ，將旋轉(zhuǎn)角度及旋轉(zhuǎn)軸表示為單位四元數(shù) ，旋轉(zhuǎn)后的向量坐標(biāo)可通過 或 計算得出。

至此，四元數(shù)算是正式引入完了，下面我們來看看為什么我們要引入四元數(shù)。

?

先說結(jié)論，四元數(shù)的引用是為了減少計算量和計算時存儲占用的空間。

但是，如果你足夠細心，一定可以發(fā)現(xiàn)兩個四元數(shù)相乘的過程其實是一個4×4矩陣與一個4×1矩陣相乘的過程，而四元數(shù)計算一次變換需要兩次這個過程，其中包括24次加法運算和32次乘法運算，反觀歐拉角的矩陣變換只要進行一次3×3矩陣和3×1矩陣的乘法運算，其中包括6次加法運算和9次乘法運算，運算量明顯是四元數(shù)更大一些。如果你再細心一些可以發(fā)現(xiàn)，四元數(shù)運算時雖然有個4×4矩陣參與運算，但是矩陣中的每一項都是已經(jīng)存儲過的單位數(shù)據(jù)，而參與歐拉角運算的3×3矩陣則要通過另外已存儲的單位數(shù)據(jù)進行的16次乘法運算，4次加法運算以及4次符號改變運算來求出，不過即使加上這些運算過程，矩陣運算也只要25次乘法運算，10次加法運算以及4次符號改變運算，運算量上來說，歐拉角的矩陣運算依然比四元數(shù)運算要有優(yōu)勢。

但事實上，我們一般遇到的運動學(xué)問題很少會有只做一次方向轉(zhuǎn)換的情況出現(xiàn)，對于復(fù)雜的系統(tǒng)和機器人來說，我們往往會面對數(shù)量龐大的轉(zhuǎn)變方向過程。這種情況下四元數(shù)的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來了，我們考慮多次變換的四元數(shù)運算：

，

我們利用結(jié)合律來看：

，

考慮到四元數(shù)共軛有性質(zhì)： ，我們可以把原式改寫為

，

可以發(fā)現(xiàn)，原向量 左右兩側(cè)括號里的運算結(jié)果是一對共軛四元數(shù)，也就是說可以利用3次易號運算代替n次四元數(shù)相乘運算，大大減少了計算量。反觀歐拉角的矩陣計算，雖然一次旋轉(zhuǎn)時，僅僅是3×3矩陣和3×1矩陣的乘法運算，但是對于多次運算來說， 的運算卻是多個3×3矩陣相乘，與四元數(shù) 的每組4×4矩陣與4×1矩陣的相乘相比運算量要大上不少，加上3×3矩陣中多數(shù)元素都是需要通過單位數(shù)據(jù)再次運算才能得到的，更是增加了運算量的需求。總體看來，在復(fù)雜的多次變換情況下，四元數(shù)比矩陣運算所需要的運算量更小。

另外，我們之前提到過，每一個3×3的矩陣至少需要存儲6個單位數(shù)據(jù)才可以記錄，而每個四元數(shù)僅需要4個單位數(shù)據(jù)即可(其實考慮到四元數(shù)是單位四元數(shù)，在保證w已知的前提下，x,y,z缺少任意一個都是可以通過運算推導(dǎo)出四元數(shù)的，也就是說可能只要占用三個數(shù)據(jù)的存儲空間，前提是對x,y,z的定義域要有限制)，在大量變換的運算中，四元數(shù)的應(yīng)用可以節(jié)約非常多的存儲空間。

?

擁有以上兩個優(yōu)點，加上規(guī)避了Ambiguity的問題，我們在表示方向和方向變換時會經(jīng)常使用四元數(shù)的運算。不過四元數(shù)也是有缺點的，在復(fù)雜運動中，方向旋轉(zhuǎn)和位移往往是同時發(fā)生的，在運用歐拉角矩陣運算時，我們考慮平移運算只要改寫矩陣為4×4 homogeneous matrix 即可，而四元數(shù)則必須重新寫為 的形式以找到homogeneous matrix，非常麻煩。

，其中

?

?

參考文獻：
https://www.zhihu.com/question/47736315/answer/236808639

www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/liuzhenbo/p/10759049.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的四元数研究的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。