按：今天看Tanenbaum的計算機網(wǎng)絡時講到了Dijkstra算法。關于算法的正確性，《算法導論》給出了嚴格的證明。CLRS的證明基于一個通用的框架，非常清晰。今天只是隨意想想是否有其他證明的方式，結果發(fā)現(xiàn)是有的。雖然這種證明方法可能早已有人用過，不算新鮮。不過自己想了一通就把它放到這里純粹博大家一樂，我盡量寫的簡潔。

首先敘述下算法：

算法維護兩個集合，S（已找到從源點v開始的最短路徑的點）和Q（未找到從v開始的最短路徑的點）。

算法初始時S為空集；Q中，從v到v本身的最短路徑的權值為0，其他點均為正無窮。

在算法的每次迭代中，從Q中選擇一個權值最小的點u，這個權值即為從v到u的最短路徑，并且放入S。同時，遍歷u的每個鄰接點x，如果從v到u的最短路徑加上從u到x的邊的權值小于Q中記錄的x的權值，則更新x的權值。

（由于實在懶得輸入數(shù)學公式，哪些說的不清楚的地方還請參考CLRS。）

算法每次迭代找到一個點的最短路徑直到S=V、Q為空。

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證明：

使用數(shù)學歸納法，假設在某次迭代（不是第一次迭代）之前，S中的點的權值都是最短路徑，我們證明某次迭代之后從Q中取出的點的權值依然是這個點的最短路徑。

利用反正，假設本次迭代從Q中取出的點u的權值不是最短的，那么存在一條從v到u的路徑小于這個權值。可知這條路徑上u的前趨一定有一個屬于S（因為至少v是屬于S的），假設屬于S的第一個前趨為x，而這條路徑上x的后繼為y。由算法的性質可知，這條路徑從v到y(tǒng)的權值一定是不小于從Q中取出的u的權值的，那么可知剛剛找到的這條從v到u的路徑權值也不小于從Q中取出的u的權值。這與假設矛盾。故u的權值是最短的。

而算法第一次迭代也滿足從Q中取出的店的權值為最優(yōu)這個性質，故算法的正確性得證。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Dijkstra算法的另一种证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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