一張灰度圖是由多個像素點而組成的，同樣，這些像素點的是由一個從0（黑）到255（白）的非負數組成的。假設我們現在有一張小的灰度圖像。在第一行的灰度值為110,100,120,140,130,100,100.這些灰度圖在圖3.1畫出

圖3.1 灰度

我們很很自然的就會問，能不能用一個函數f（t）來表示這一行的數據？我們可以用從例1.2推出的函數Φ（t）來表示。Φ（t）為

那么我們就開始用Φ（t）來構建f（t）吧

Φ（t）以及f（t）如圖3.2所示

注意到，所有的f（t）都是對所有的t∈R是連續的，除了在t=1,2,3,4,5。

• V₀空間的定義

我們可以使用上面的示例創建一個向量空間,并且所有的的斷點都在整數。我們不妨試著定義這個空間是由Φ（t）以及它的變換函數Φ（t-k）張成的，其中k∈Z，所以在這個空間的元素可以表示為

在式子3.3中我們故意模糊了求和的范圍。我們是不是真的要對求和進行一些約束呢？其實，在圖像處理中，k只要覆蓋到了所有的行列就可以了。在這種情況下，我們稱這些像素為緊密支撐元素。

但是，如果把k設定為有限值，我們就無法對一些有用的函數建模。好比如sin和cos線性組合的這種無限長支撐集的函數。當然了，所有的實際運用的函數都是有限的。所以，我們必須要在L²（R）空間里面對函數進行討論，并且不需要討論到無窮大，只是需要討論到函數取值近似于0的時候就可以了，所以我們有如下定義

定義3.1（哈爾空間V₀和哈爾函數Φ（t））Φ（t）已經在（3.1）寫過了，我們下面就來定義V₀空間

（作者注：這么命名是為了紀念匈牙利的數學家n Alfred Haar (1885-1933），這個數學家創立了正交函數論）

這個空間就是在L²(R)里面斷點為正數的所有分段常數函數。在練習3.4你需要證明這個空間是L²(R)的子空間。

通過定義，你就可以知道Φ（t）以及Φ（t-k）張成了整個空間。在練習3.1中你就會知道，他們是線性無關的。因此，他們是這個空間的一組基

• Φ（t）以及它的變換的正交性

?我們來選擇下標j！=k的函數Φ（t-j）以及Φ（t-k）。Φ（t-j）在區間[j,j+1)不為0，同樣Φ（t-k）在[k,k+1）不為0.如果j！=k，他們的乘積就為0，如圖3.3所示

因此內積為

所以他們是正交的。同樣，我們注意到了Φ（t-k）²=Φ（t-k），所以無論我們怎么平移，它與橫軸所圍成的面積始終為1

注意我們本章中所討論都是實函數。所以我們修改了定義1.8的式子中的共軛來計算內積

主題3.1（V₀的正交基）在定義3.1中給出的V₀，它的正交基為{Φ（t-k）}_k∈Z。

證明：通過定義以及練習3.1你會知道{Φ（t-k）}_k∈Z是線性無關的，之前的計算也很明V₀ 的內積為

其中δ_j，k在式子（2.16）給出

?下面我們看一些V₀的例子

?例3.1（V0中元素）判斷下列函數是否位于V₀

（a）其中

?

?（b）階梯函數

（c）函數

（d）函數

解：

對于（a），我們作如下化簡

不難看出，間斷點為2個，而且分段的地方是正數并且

所以f（t）∈V₀

對于（b），當t≥1且k=1,2,3,4....的時候，g（t）≥1。然而，我們在練習1.13（b）知道，函數

并不屬于L²(R)。又因為在[0,∞)上g（t）≥r（t）。所以。雖然這個函數的間斷點也在正數，因為不是絕對可積的，所以并不屬于空間V₀

對于（c），我們可以看出這個是函數Φ（t-k）的線性結合。但是我們還是要費點功夫來看。所以我們先化簡一下

這些嚴格的證明應該設計到無窮級數求和以及不定積分的順序的交換。這些應該在分析數學的課上學過，感興趣的讀者可以看Rudin的書。h（t）²的化簡如下

我們在R上對它進行積分

從（3.5）我們知道Φ（t-k）和Φ（t-j）的積分為0，只有當j=k的時候為1，所以，式子可以化簡為

從積分學，我們知道是p階收斂的。（作者注：我們可以嘗試通過傅里葉級數證明這個東西的求和為∏²/6,詳見Kammler的書）。所以我們知道h（t）屬于V₀空間。

（d）問題癥結所在是每一項的系數都涉及了Φ（4t）這個函數。這是一個經過縮放的哈爾函數

我們在圖3.4中畫出了Φ（4t）。現在Φ（4t）=Φ（4（t-1/4））,所以我們可以認為這個是向右移動了1/4個單位，其余的以此類推，我們在圖3.4畫出了這個函數

?

圖3.4函數Φ（4t）以及l（t）

• 從L²(R)映射到V₀

?由于{Φ（t-k）}_k∈Z是一組正交基，因此，我們可以將一個位于L²(R）的函數映射到V₀上面，有

我們下面來看幾個L²(R)投影到V₀的例子

例3.2（投影到V₀）我們從問題。練習1.13（a）知道函數，我們來尋找他在V₀上的投影

解：

對于k∈Z，我們必須計算。對于k≥0，在[k,k+1)上有Φ（t-k）=1，其余區間上Φ（t-k）=0所以我們在[k,k+1)上積分就可以了。又由于k＞0，因此，e^-∣t∣=e^-t，從而內積為

同理k＜0也有類似的做法，不再贅述，直接給出式子

我們在圖3.5畫出P(t)逼近的效果圖

?

圖3.5 函數g（t）以及它在V₀的投影

?

轉載于:https://www.cnblogs.com/BIGShengun/p/5143463.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3.1 哈尔空间 V0的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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