1. 二叉樹的基本性質(zhì)

• 二叉樹的第i層至多有2^i-1個結(jié)點（i>=1）

證明：（歸納法）

　　　歸納基：i=1時，只有一個結(jié)點，2^i-1=2⁰=1；

　　　歸納假設(shè)：假設(shè)對所有的i命題成立；

　　　歸納證明：二叉樹中每個結(jié)點最多有兩個子樹，則第i+1層的結(jié)點數(shù)為2*2^i-2=2^i-1.

• 深度為h的二叉樹至多有2^h-1個結(jié)點（h>=1）

　　　　證明：n=2⁰+2¹+...+2^h-1=2^h-1.（等比數(shù)列）

• 對于一棵二叉樹，若含有n₀個葉子結(jié)點，n₂個度為2的結(jié)點，則必存在關(guān)系式：n₂=n₀-1

　　　　證明：設(shè)二叉樹的結(jié)點總數(shù)為n=n₀+n₁+n₂;

　　　　　　　二叉樹上的分支總數(shù)為b=n₁+2n₂;

　　　　 ? ? ? ?又b=n-1;

　　　　 ? ? ? ?故：n₂=n₀-1.

• 具有n個結(jié)點的完全二叉樹的深度為[log₂n]+1.[]表示取整

　　　　證明：設(shè)完全二叉樹的深度為k，則：2^k-1<=n<2^k

　　　　　　　即k-1<=log₂n<k

　　　　　　　因為k只能取整數(shù)，所以k=[log₂n]+1.

• 若對含n個結(jié)點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行1至n的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號為i的結(jié)點：

　　　　若i=1，則該結(jié)點是二叉樹的根，無雙親，否則，編號為[i/2]的結(jié)點為其雙親結(jié)點；

　　　　若2i>n，則該結(jié)點無左孩子結(jié)點，否則，編號為2i的結(jié)點為其左孩子結(jié)點；

　　　　若2i+1>n，則該結(jié)點無右孩子結(jié)點，否則，編號為2i+1的結(jié)點為其右孩子結(jié)點。

　　　　證明：設(shè)完全二叉樹中第i個結(jié)點的位置為第k層第j個結(jié)點，即i=2^k-1-1+j;

　　　　　　　則左孩子結(jié)點的索引為：l=2^k-1+2(j-1)+1=2*(2^k-1-1+j)=2*i;

　　　　　　　左孩子結(jié)點的索引為：r=2^k-1+2(j-1)+2=2*(2^k-1-1+j)+1=2*i+1;

?2. 二叉樹中各種結(jié)點數(shù)目的計算

　　若一個完全二叉樹的結(jié)點數(shù)目為n，求n₀，n₁，n₂，數(shù)的高度h，左孩子結(jié)點數(shù)目nl和右孩子結(jié)點數(shù)目nr？

　　（n₀為度為0的結(jié)點，n₁為度為1的結(jié)點，n₂為度為2的結(jié)點）

　　求解思路：

　　樹的高度h=[log₂n]+1;

　　因為是完全二叉樹，所以1~h-1層全滿；

　　前h-1層的結(jié)點數(shù)目為n_h-1=2^h-1-1;

　　第h層的葉子結(jié)點數(shù)目為n_c1=n-n_h-1;

　　第h-1層的葉子結(jié)點數(shù)目為n_c2=2^h-2-ceil(n_c1/2);（ceil為向上取整）

　　所以n₀=n_c1+n_c2;

　　n₂=n₀-1;

　　n₁=n-n₀-n₂;

　　左孩子結(jié)點數(shù)目n_l=n₂+n₁;

　　右孩子結(jié)點數(shù)目n_r=n₂;

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/jmliao/p/6706333.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的满二叉树各种节点数目的计算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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