概要

這篇文章中，我們來聊聊 OpenGL 中的坐標系統以及它們之間的轉換。

（??閱讀本文需要有線性代數基礎。）

坐標變換原理

首先，我們需要運用一點線性代數的知識，了解不同坐標系統變換的原理。
由于本文針對的是三維坐標，所以討論的空間是 \(R^3\) 空間。

在標準三維坐標系中，我們通常用一個向量 v=[x, y, z] 來表示一個點的位置。這里的 x、y、z 分別對應 x 軸、y 軸以及 z 軸三個方向的偏移，而標準三維坐標空間的基采用的是三個互相垂直的向量 \(\mathbf e_1=[1,0,0]\), \(\mathbf e_2=[0,1,0]\), \(\mathbf e_3=[0,0,1]\)。但根據線性無關等知識，我們完全可以找出另外三個向量作為三維空間的基，只要這三個向量線性無關，同樣能夠張成 \(R^3\) 空間。

現在，假設坐標系 A 采用的基向量是 {\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf v_3\)}，坐標系 B 采用的是{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}。
那么，根據線性無關性，我們可以得到線性方程組：
\[ {\mathbf u_1 = \gamma_{11}\mathbf v1+\gamma_{12}\mathbf v2+\gamma_{13}\mathbf v_3} \]

\[ \mathbf u_2 = \gamma_{21}\mathbf v1+\gamma_{22}\mathbf v2+\gamma_{23}\mathbf v_3 \]

\[ \mathbf u_3 = \gamma_{31}\mathbf v1+\gamma_{32}\mathbf v2+\gamma_{33}\mathbf v_3 \]

用矩陣方程的形式表示為：

\[\mathbf u = \mathbf M \mathbf v\]
由于 \(\mathbf u\), \(\mathbf v\) 都是三維空間的基，因此，對于三維空間內任意一個向量 \(\mathbf w\)，\(\mathbf u\)、\(\mathbf v\)都可以通過線性組合的方式表示出 \(\mathbf w\)：
\(\mathbf w = \mathbf a^T \mathbf v = \mathbf b^T \mathbf u\)（這里的\(\mathbf a^T\), \(\mathbf b^T\)分別表示不同坐標空間的標量）。
結合前面 \(\mathbf u = \mathbf M \mathbf v\)，進一步得到：\(\mathbf w = \mathbf b^T \mathbf u = \mathbf b^T \mathbf M \mathbf v=\mathbf a^T \mathbf v\)，
繼而 ：\(\mathbf a = \mathbf M^T \mathbf b\)，\(\mathbf b = (\mathbf M^T)^{-1} \mathbf a\)。

好了，到這里，關鍵的東西就講完了。所以坐標系統的變換很簡單有木有！如果你在B坐標系（基向量為{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}）中有個向量 \(\mathbf w\)，沿用上面的假設，\(\mathbf w\) 的坐標為 \(\mathbf b\)（即 \(\mathbf w = \mathbf b^T \mathbf u\)），這個時候，我們想求出它在 A 坐標系（基向量為{\(\mathbf v_1, \mathbf v_2, \mathbf v_3\)}）的坐標表示（假設為\(\mathbf a\)），我們只需要求出矩陣 \(\mathbf M\)，則：\(\mathbf a = \mathbf M^T \mathbf b\)。
反之同理。

這個時候，有同學可能會問矩陣 \(\mathbf M\) 怎么求？
假設一個坐標系統的基向量為{\(\mathbf u_1\), \(\mathbf u_2\), \(\mathbf u_3\)}，而另一個系統采用標準向量{\(\mathbf e_1\), \(\mathbf e_2\), \(\mathbf e_3\)}，假設存在關系：\(\mathbf u = \mathbf M^T \mathbf e\)（這個式子的理解是：如果 \(\mathbf M\) 是兩個坐標系統的變換矩陣，那么兩個系統內的任意向量可以通過這個矩陣相互轉換，基向量只不過是特殊的向量，一樣可以通過 \(\mathbf M\) 進行轉換），那矩陣 \(\mathbf M\) 其實可以表示為 [\(\mathbf u_1, \mathbf u_2, \mathbf u_3\)]。這個結果其實很好理解，只要換種寫法：
\(\mathbf u = \begin{bmatrix} \mathbf u_1 \\ \mathbf u_2 \\ \mathbf u_3 \\ \end{bmatrix}\)，\(\mathbf e = \begin{bmatrix} \mathbf e_1 \\ \mathbf e_2 \\ \mathbf e_3 \\ \end{bmatrix}\)，可以發現，\(\mathbf e\)其實是一個單位矩陣。
而如果是非標準坐標系統之間的變換，則需要解一個線性方程組：\(\mathbf u = \mathbf M^T \mathbf v\)，而且可以肯定，這個解存在且唯一。

盡管從上面的推論中我們可以得出，不同坐標系統可以通過一個唯一的 3*3 矩陣 \(\mathbf M\) 來變換，但都是基于坐標原點相同的前提。如果原點也發生變化，這時就必須引入第四個維度來表示平移的偏移量，也就是常說的齊次坐標。
引入第四維后，\(\mathbf u=[\mathbf u_1,\mathbf u_2,\mathbf u_3,\mathbf p]\)，\(\mathbf v=[\mathbf v_1,\mathbf v_2,\mathbf v_3,\mathbf q]\)，我們再次用一個矩陣 \(\mathbf M\) 來轉換這兩個坐標系統，不同的是，這里的 \(\mathbf M\) 是一個 4*4 的矩陣：
\[ \mathbf M= \begin{bmatrix} \gamma_{11} & \gamma_{12} & \gamma_{13} & 0 \\ \gamma_{21} & \gamma_{22} & \gamma_{23} & 0 \\ \gamma_{31} & \gamma_{32} & \gamma_{33} & 0 \\ \gamma_{41} & \gamma_{42} & \gamma_{43} & 1 \\ \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf u = \mathbf M^T * \mathbf v \]
除了多出一維外，齊次坐標與上面使用的三維坐標本質上沒有區別，計算方法也基本一致，在對應到三維坐標系時，只需要舍棄第四個維度即可。

OpenGL中的坐標系統

OpenGL 的坐標系統有六種：

Object (or model) coordinates

World coordinates

Eye (or camera) coordinates

Clip coordinates

Normalized device coordinates

Window (or screen) coordinates

模型坐標系 (Object coordinates) 是每個模型在制作時特有的，如果要把模型放入世界，就需要將所有模型的坐標系轉換成世界坐標系 (World coordinates)。世界中的場景需要通過相機被人眼觀察，需要將世界坐標系轉換成相機坐標系 (Eye coordinates)。從模型坐標系，到世界坐標系，再到相機坐標系的變換，通常稱為 model-view transformation，通過 model-view matrix 來實現。
前三種坐標系統通常是由用戶指定的，而后三種坐標系統一般都是在 OpenGL 管道中，由程序自己實現的。
而 OpenGL 中坐標系統轉換的原理，其實就是上面所講的那些，只不過在使用時，我們可以使用一些 API 來簡化不少工作。

參考

• Interactive Computer Graphics - A Top-Down Approach 6e By Edward Angel and Dave Shreiner (Pearson, 2012)

轉載于:https://www.cnblogs.com/jermmyhsu/p/8195549.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的坐标系统之间的转换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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