樹狀數(shù)組（Fenwick tree，又名binary indexed tree），是一種很實(shí)用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它通過用節(jié)點(diǎn)i，記錄數(shù)組下標(biāo)在[ i –2^k + 1, i]這段區(qū)間的所有數(shù)的信息（其中，k為i的二進(jìn)制表示中末尾0的個(gè)數(shù)，設(shè)lowbit(i) = 2^k），實(shí)現(xiàn)在O(lg n)?時(shí)間內(nèi)對(duì)數(shù)組數(shù)據(jù)的查找和更新。

樹狀數(shù)組的傳統(tǒng)解釋圖，不能很直觀的看出其所能進(jìn)行的更新和查詢操作。其最主要的操作函數(shù)lowbit(k)與數(shù)的二進(jìn)制表示相關(guān)，本質(zhì)上仍是一種二分。因而可以通過二叉樹，對(duì)其進(jìn)行分析。事實(shí)上，從二叉樹圖，我們對(duì)它所能進(jìn)行的操作和不能進(jìn)行的操作一目了然。

和前面提到的點(diǎn)樹類似，先畫一棵二叉樹，然后對(duì)節(jié)點(diǎn)中序遍歷（點(diǎn)樹是采用廣度優(yōu)先），每個(gè)節(jié)點(diǎn)仍然只記錄左子樹信息，見圖：

?

?

由于采用的是中序遍歷，從節(jié)點(diǎn)1到節(jié)點(diǎn)k時(shí)，剛好有k個(gè)葉子被統(tǒng)計(jì)。

可以證明：

??葉子k，一定在節(jié)點(diǎn)k的左子樹下。

??以節(jié)點(diǎn)k為根的樹，其左子樹共有葉子lowbit(k)

節(jié)點(diǎn)k的父節(jié)點(diǎn)是：k + lowbit(k)?或?k - lowbit(k)?

節(jié)點(diǎn)k + lowbit(k)?是節(jié)點(diǎn)k的最近父節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)k在它的左子樹下。

節(jié)點(diǎn)k - lowbit(k)?是節(jié)點(diǎn)k的最近父節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)k在它的右子樹下。

節(jié)點(diǎn)k，統(tǒng)計(jì)的葉子范圍為：(k - lowbit(k),??k]。

節(jié)點(diǎn)k的左孩子是：k - lowbit(k) / 2

?

下面分析樹狀數(shù)組兩面主要應(yīng)用：

1?更新數(shù)據(jù)x，進(jìn)行區(qū)間查詢。

2?更新區(qū)間，查詢某個(gè)數(shù)。

由于，樹狀數(shù)組只統(tǒng)計(jì)了左子樹的信息，因而只能查詢更新區(qū)間[1, x]。只在在滿足[x,y]的信息可以由[1,x-1]和[1,y]的信息推導(dǎo)出時(shí)，才能進(jìn)行區(qū)間[x,y]的查詢更新。這也是樹狀數(shù)組不能用于任意區(qū)間求最值的根本原因。

?

先定義兩個(gè)集合：

up_right(k)?：?節(jié)點(diǎn)k所有的父節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)k在它們的左子樹下。

up_left(k)?：??節(jié)點(diǎn)k所有的父節(jié)點(diǎn)，且節(jié)點(diǎn)k在它們的右子樹下。

?

1??更新數(shù)據(jù)x，查詢區(qū)間[1,y]。

顯然，更新葉子x，要找出葉子x在哪些節(jié)點(diǎn)的左子樹下。因而節(jié)點(diǎn)k、所有的up_right(k)

都要更新。

查詢[1, y]，實(shí)際上就是把該區(qū)間拆分成一系列小區(qū)間，并找出統(tǒng)計(jì)這些區(qū)間的節(jié)點(diǎn)。可以通過找出y在哪些節(jié)點(diǎn)的右子樹下，這些節(jié)點(diǎn)恰好不重復(fù)的統(tǒng)計(jì)了區(qū)間[1, y-1]。因而要訪問節(jié)點(diǎn)y、所有的up_left(y)。

?

2?更新區(qū)間[1,y]，查詢數(shù)據(jù)x

??這和前面的操作恰好相反。與前面的最大不同之處在于：節(jié)點(diǎn)保存的不再是其葉子總個(gè)數(shù)這些信息，而是該區(qū)間的所有葉子都改變了多少。也就是說：每個(gè)葉子的信息，分散到了所有對(duì)它統(tǒng)計(jì)的節(jié)點(diǎn)上。因此操作和前面相似：

??更新[1,y]時(shí)，更新節(jié)點(diǎn)y、所有up_left(y)。

??查詢x時(shí)，??訪問x、所有up_right(x)。

?

前面的樹狀數(shù)組，只對(duì)左子樹信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如果從后往前讀數(shù)據(jù)初始化樹狀數(shù)組，則變成只對(duì)右子樹信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，這時(shí)更新和查詢操作，剛好和前面的相反。

?

一般情況下，樹狀數(shù)組比點(diǎn)樹省空間，對(duì)區(qū)間[1, M]只要M+1空間，查詢更新時(shí)定位節(jié)點(diǎn)比較快，定位父節(jié)點(diǎn)和左右孩子相對(duì)麻煩點(diǎn)（不過，一般也不用到。從上往下查找，可參考下面代碼中的erease_nth函數(shù)（刪除第n小的數(shù)））。

?

下面是使用樹狀數(shù)組的實(shí)現(xiàn)代碼（求逆序數(shù)和模擬約瑟夫環(huán)問題）：

//www.cnblogs.com/flyinghearts
#include<cstdio>?
#include<cstring>?
#include<cassert>?
?
template<int?N>?struct?Round2k?
{?enum?{?down?=?Round2k<N?/?2u>::down?*?2};?};

template<>?struct?Round2k<1>?{?enum?{?down?=?1};?};
?

template?<int??Total,?typename?T?=?int>??//區(qū)間[1,?Total]
class??BIT?{
??enum?{?Min2k?=?Round2k<Total>::down};??
??T?info[Total?+?1];????????????????
??T?sz;?????????????????????????????????//可以用info[0]儲(chǔ)存總大小
??
public:
??BIT()?{?clear();?}
??void?clear()?{?memset(this,?0,?sizeof(*this));}
??int?size()?{?return?sz;?}

??int?lowbit(int?idx)?{?return?idx?&?-idx;}
??//尋找最近的父節(jié)點(diǎn)，left_up/right_up?分別使得idx在其右/左子樹下
??void?left_up(int&??idx)?{?idx?-=?lowbit(idx);?}
??void?right_up(int&??idx)?{?idx?+=?lowbit(idx);?}

??void?update(int?idx?,const?int?val?=?1)?{???//葉子idx?改變val個(gè)??
????assert(idx?>?0);
????sz?+=?val;
????for?(;?idx?<=?Total;?right_up(idx))?info[idx]?+=?val;?
??}

??void?init(int?arr[],?int?n)?{???????????????//?arr[i]為葉子i+1的個(gè)數(shù)
????assert(n?<=?Total);
????sz?=?n;
????//?for?(int?i?=?0;?i?<?n;?)?{
??????//?info[i?+?1]?=?arr[i];
??????//?if?(++i?>=?n)?break;
??????//?info[i?+?1]?=?arr[i];
??????//?++i;
??????//?for?(int?j?=?1;?j?<?lowbit(i);?j?*=?2u)?info[i]?+=?info[i?-?j];
????//?}??
????for?(int?i?=?0;?i?<?n;?)?{
??????info[i?+?1]?=?arr[i];
??????if?(++i?>=?n)?break;
??????int?sum?=?arr[i];
??????int?pr?=?++i;
??????left_up(pr);
??????for?(int?j?=?i?-?1;?j?>?pr;?left_up(j))?sum?+=?info[j];
??????info[i]?=?sum;??
????}
??}
??
??int?count(int?idx)?{??//[1,idx]?-?[1,?idx-1]
????assert(idx?>?0);??????
????int?sum?=?info[idx];
????//?int?pr?=?idx;???//int?pr?=?idx?-?lowbit(idx);????
????//?left_up(pr);???
????//?for?(--idx;?idx?>?pr;?left_up(idx))?sum?-=?info[idx];?//
????//?return?sum;
????for?(int?j?=?1;?j?<?lowbit(idx);?j?*=?2u)?sum?-=?info[idx?-?j];
????return?sum;
??}??
??
??int?lteq(int?idx)?{??????????????????????????????????//小等于
????assert(idx?>=?1?&&?idx?<=?Total);
??????int?sum?=?0;
????for?(;?idx?>?0;?left_up(idx))?sum?+=?info[idx];
??????return?sum;
??}
??
??int?gt(int?idx)?{?return?sz?-?lteq(idx);?}???????????//大于

??int?operator[](int?n)??{?return?erase_nth(n,?0);?}??//第n小
??
??int?erase_nth(int?n,?const?bool?erase_flag?=?true)???//刪除第n小的數(shù)
??{
????assert(n?>=1?&&?n?<=?sz);
????sz?-=?erase_flag;
????int?idx?=?Min2k;???????????????????????????????//從上往下搜索，先定位根節(jié)點(diǎn)?
????for?(int?k?=?idx?/?2u;?k?>?0;?k?/=?2u)?{
??????int?t?=?info[idx];
??????if?(n?<=?info[idx])?{?info[idx]?-=?erase_flag;?idx?-=?k;}??//進(jìn)入左子樹??????
??????else?{
????????n?-=?t;
????????if?(Total?!=?Min2k?&&?Total?!=?Min2k?-?1)?//若不是完全二叉樹
??????????while?(idx?+?k?>?Total)??k?/=?2u;???????//則必須計(jì)算右孩子的編號(hào)?
????????idx?+=?k;??????????????????????????????????//進(jìn)入右子樹???
??????}
????}
????assert(idx?%?2u);???????????????????//最底層節(jié)點(diǎn)m一定是奇數(shù)，有兩個(gè)葉子m，m+1
????if?(n?>?info[idx])?return?idx?+?1;??//節(jié)點(diǎn)m+1前面已經(jīng)更新過
????info[idx]?-=?erase_flag;?
????return?idx;
??}

??void?show()
??{
????for?(int?i?=?1;?i?<=?Total;?++i)
??????if?(count(i))?printf("%2d?",?i);
????printf("\n");??
??}
??
};?



void?ring()???????????//約瑟夫環(huán)
{
??const?int?N?=?17;???//N個(gè)人編號(hào)：1,2,??N
??const?int?M?=?7;????//報(bào)數(shù)：1到M，報(bào)到M的出列
??printf("?N:?%d???M:?%d\n",?N,?M);
??BIT<N>?pt;
??//?for?(int?i?=?0;?i?<?N;?++i)?pt.update(i?+?1);
??int?arr[N];
??for?(int?i?=?0;?i?<?N;?++i)?arr[i]?=?1;
??pt.init(arr,?N);

??for?(int?j?=?N,?k?=?0;?j?>=?1;?--j)?{
????k?=?(k?+?M-1)?%?j;
????int?t?=?pt.erase_nth(k?+?1);
????printf("?turn:?%2d??out:?%2d???rest:??",?N?-?j,?t);
????pt.show();
??}
??printf("?\n\n");
}

int?ra(int?arr[],?int?len)?//求逆序數(shù)-直接搜索
{
??int?sum?=?0;
??for?(int?i?=?0;?i?<?len?-?1;?++i)
????for?(int?j?=?i?+?1;?j?<?len;?++j)
??????if?(arr[i]?>?arr[j])?++sum;
??return?sum;????
}

template<int?N>
int?rb(int?arr[],?int?len)?//求逆序數(shù)-使用樹狀數(shù)組
{
??BIT<N>?pt;
??int?sum?=?0;
??for?(int?i?=?0;?i?<?len;?++i)?{
????pt.update(arr[i]?+?1);
????sum?+=?pt.gt(arr[i]?+?1);
??}
??return?sum;??
}


int?main()
{
??int?arr[]?=?{?4,3,2,1,0,5,?1,3,0,2};
??const?int?N?=?sizeof(arr)?/?sizeof(arr[0]);
??printf("%d?%d\n\n",?ra(arr,?N),?rb<6>(arr,?N));
??ring();
}

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的用二叉树来理解树状数组的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。