算法之排列与组合算法
本文介紹了常用的排列組合算法，包括全排列算法，全組合算法，m個(gè)數(shù)選n個(gè)組合算法等。
2. 排列算法
常見(jiàn)的排列算法有：
(A)字典序法
(B)遞增進(jìn)位制數(shù)法
(C)遞減進(jìn)位制數(shù)法
(D)鄰位對(duì)換法
(E)遞歸法
介紹常用的兩種：
(1) 字典序法
對(duì)給定的字符集中的字符規(guī)定了一個(gè)先后關(guān)系，在此基礎(chǔ)上按照順序依次產(chǎn)生每個(gè)排列。
[例]字符集{1,2,3},較小的數(shù)字較先,這樣按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。
生成給定全排列的下一個(gè)排列 所謂一個(gè)的下一個(gè)就是這一個(gè)與下一個(gè)之間沒(méi)有字典順序中相鄰的字符串。這就要求這一個(gè)與下一個(gè)有盡可能長(zhǎng)的共同前綴，也即變化限制在盡可能短的后綴上。
算法思想：
設(shè)P是[1,n]的一個(gè)全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn , j=max{i|Pi<Pi+1}, k=max{i|Pi>Pj} ,對(duì)換Pj，Pk，將Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻轉(zhuǎn)， P’= P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即P的下一個(gè)
例子:839647521的下一個(gè)排列.
從最右開(kāi)始,找到第一個(gè)比右邊小的數(shù)字4(因?yàn)?<7，而7>5>2>1),再?gòu)淖钣议_(kāi)始,找到4右邊比4大的數(shù)字5(因?yàn)?>2>1而4<5),交換4、5,此時(shí)5右邊為7421,倒置為1247,即得下一個(gè)排列:839651247.用此方法寫(xiě)出全排列的非遞歸算法如下
該方法支持?jǐn)?shù)據(jù)重復(fù)，且在C++ STL中被采用。
(2) 遞歸法
設(shè)一組數(shù)p = {r1, r2, r3, … ,rn}, 全排列為perm(p)，pn = p – {rn}。則perm(p) = r1perm(p1), r2perm(p2), r3perm(p3), … , rnperm(pn)。當(dāng)n = 1時(shí)perm(p} = r1。
如：求{1, 2, 3, 4, 5}的全排列
1、首先看最后兩個(gè)數(shù)4, 5。 它們的全排列為4 5和5 4, 即以4開(kāi)頭的5的全排列和以5開(kāi)頭的4的全排列。
由于一個(gè)數(shù)的全排列就是其本身，從而得到以上結(jié)果。
2、再看后三個(gè)數(shù)3, 4, 5。它們的全排列為3 4 5、3 5 4、 4 3 5、 4 5 3、 5 3 4、 5 4 3 六組數(shù)。
即以3開(kāi)頭的和4,5的全排列的組合、以4開(kāi)頭的和3,5的全排列的組合和以5開(kāi)頭的和3,4的全排列的組合.
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 | #include <stdio.h> int n = 0; void swap(int *a, int *b) { ??int m; ??m = *a; ??*a = *b; ??*b = m; } void perm(int list[], int k, int m) { ??int i; ??if(k > m) ??{ ????for(i = 0; i <= m; i++) ??????printf("%d ", list[i]); ????printf("\n"); ????n++; ??} ??else ??{ ????for(i = k; i <= m; i++) ????{ ??????swap(&list[k], &list[i]); ??????perm(list, k + 1, m); ??????swap(&list[k], &list[i]); ????} ??} } int main() { ??int list[] = {1, 2, 3, 4, 5}; ??perm(list, 0, 4); ??printf("total:%d\n", n); ??return 0; } |
3. 組合算法
3.1 全組合
在此介紹二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法，即，將每個(gè)組合與一個(gè)二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，枚舉二進(jìn)制的同時(shí)，枚舉每個(gè)組合。如字符串：abcde
00000 <– –> null
00001<– –> e
00010 <– –> d
… …
11111 <– –> abcde
3.2 從n中選m個(gè)數(shù)
(1) 遞歸
a. 首先從n個(gè)數(shù)中選取編號(hào)最大的數(shù)，然后在剩下的n-1個(gè)數(shù)里面選取m-1個(gè)數(shù)，直到從n-(m-1)個(gè)數(shù)中選取1個(gè)數(shù)為止。
b. 從n個(gè)數(shù)中選取編號(hào)次小的一個(gè)數(shù)，繼續(xù)執(zhí)行1步，直到當(dāng)前可選編號(hào)最大的數(shù)為m。
下面是遞歸方法的實(shí)現(xiàn)：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 | /// 求從數(shù)組a[1..n]中任選m個(gè)元素的所有組合。 /// a[1..n]表示候選集，n為候選集大小，n>=m>0。 /// b[1..M]用來(lái)存儲(chǔ)當(dāng)前組合中的元素(這里存儲(chǔ)的是元素下標(biāo))， /// 常量M表示滿(mǎn)足條件的一個(gè)組合中元素的個(gè)數(shù)，M=m，這兩個(gè)參數(shù)僅用來(lái)輸出結(jié)果。 void combine( int a[], int n, int m,? int b[], const int M ) { ??for(int i=n; i>=m; i--)?? // 注意這里的循環(huán)范圍 ??{ ????b[m-1] = i - 1; ????if (m > 1) ??????combine(a,i-1,m-1,b,M); ????else???????????????????? // m == 1, 輸出一個(gè)組合 ????{ ??????for(int j=M-1; j>=0; j--) ??????cout << a[b[j]] << " "; ??????cout << endl; ????} ??} } |
(2) 01轉(zhuǎn)換法
本程序的思路是開(kāi)一個(gè)數(shù)組，其下標(biāo)表示1到n個(gè)數(shù)，數(shù)組元素的值為1表示其代表的數(shù)被選中，為0則沒(méi)選中。
首先初始化，將數(shù)組前n個(gè)元素置1，表示第一個(gè)組合為前n個(gè)數(shù)。
然后從左到右掃描數(shù)組元素值的“10”組合，找到第一個(gè)“10”組合后將其變?yōu)椤?1”組合，同時(shí)將其左邊的所有“1”全部移動(dòng)到數(shù)組的最左端。
當(dāng)?shù)谝粋€(gè)“1”移動(dòng)到數(shù)組的n-m的位置，即n個(gè)“1”全部移動(dòng)到最右端時(shí)，就得到了最后一個(gè)組合。
例如求5中選3的組合：
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 | 1 1 1 0 0 //1,2,3 1 1 0 1 0 //1,2,4 1 0 1 1 0 //1,3,4 0 1 1 1 0 //2,3,4 1 1 0 0 1 //1,2,5 1 0 1 0 1 //1,3,5 0 1 1 0 1 //2,3,5 1 0 0 1 1 //1,4,5 0 1 0 1 1 //2,4,5 0 0 1 1 1 //3,4,5 |
4. 參考資料
(1) http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/11/1191914.html
(2) http://comic.sjtu.edu.cn/thucs/GD_jsj_025y/text/chapter01/sec05/default.htm
(3) http://blog.csdn.net/sharpdew/archive/2006/05/25/755074.aspx
(4) http://xiaomage.blog.51cto.com/293990/74094
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的算法之排列与组合算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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