生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
深入理解RMQ LCA
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
正文
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第一節?RMQ、LCA概述
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?????? LCA:Lowest?Common?Ancestor，譯為最近公共祖先。其解釋就是說：在有根樹中，找出樹中任意兩個節點最近的公共祖先，或者說找到任意兩個節點離樹根最遠的公共祖先。
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?????? RMQ：Range?Minimum?Query，譯為區間最小值查詢。其解釋就是說：對于含有N個元素的數列A，在數列中找到兩個指定索引之間的最小值及最小值的位置。
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第二節?RMQ Algorithm
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?????? 首先我們來看RQM算法，我將會根據預處理和查詢的速度介紹幾種解決該問題的方法。
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??? 設有數組A[N]，其表示如下：
??? 要求求得區間(2,7)的最小元素，如下圖所示：
解法一：直接遍歷區間
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?????? 看到這個問題之后，我們最先想到的就是對區間的這些數進行一次遍歷，就可以找到區間的最值，因此查詢的時間為O(M)。但是，當數據量非常大并且查詢很頻繁時，直接遍歷序列的效果就不是那么理想了。因為每查詢一次就得對序列做一次遍歷，對于大數據量這顯然不能滿足要求了。不過對于小數據量，這種算法倒是不錯的選擇！??
???????查詢：O(M)。
算法的代碼如下：
[cpp]?view plaincopyprint?
int?MaxNum?=?0;?? for(i?=?0;?i?<?range;?i++)?? {?? ????? ???if(array[i]?>?MaxNum)?? ???{?? ??????MaxNum?=?array[i];?? ???}?? }??
解法二：切割法
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?????? 解法一中查詢的速度為O(M)，如果每次查詢都這樣的話，那真就成了龜速了。于是我們對解法一做了預處理，這就是該節要講的：切割法。
??? 首先，我們將序列分成sqrt(N)個部分，用數組M[sqrt(N)?]來表示每個部分中最小的值的下標，即這個最小數的位置。對于數組M，我們只需對原序列進行一次遍歷就可以得到M。如下圖所示：
?????? 接下來我們來求RMQ[2，7]。為了得到區間[2，7]的最小值，我們需比較A[2]，A[M[1]]，A[6]，以及A[7]，并得到他們中最小值的下標。
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??? 分析：其實，這種方法較第一種方法而言并沒有實質的改進，甚至還不如方法一。至于為什么這樣做，我的解釋是：我們是基于查詢快慢的角度上來比較的，說白了，就是我們追求的是查詢速度，所以說只要查的快了，先做一些預處理也是值得的（解法四正是基于這種思想）。現在我們根據上面的例子來看看法二，當做完預處理之后，得到了數組M，此時我們要求區間的最值，那么我們只需將在區間內，包含數組M的值以及包含兩個邊界的值作比較就行，這樣的話，查詢的次數：O(M)?<=?查詢次數?<?O(M)?+?K，其中K?<?sqrt(N)。
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解法三：排序
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?????? 解法二已經提到我們的目的是查得快，那么我們可對選擇區間的這M個數據進行排序，然后就可以直接得到最小值。但是如果做排序的話，會有很大的缺陷。我們來看看。
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?????? 分析：我們選擇快速排序，O(M?*?LogM)，但是快速排序會改變序列中數的相對位置，因此用快排的話，為了保證原數據的順序不變，我們還得用O(M)的空間來維護原序列，因此這樣的消耗是很大的。附注：復雜度為O(M?*?M)的排序算法在這就不啰嗦了！你懂得！
????查詢：O(1)。
OK，我們來實現我們的想法，代碼如下：
[cpp]?view plaincopyprint?
快速排序?? int?partition(int?*array,?int?low,?int?high)?? {?? ????int?key?=?array[high];?? ????int?i?=?low;?? ????int?j?=?high;?? ?? ????while(i?<?j)?? ????{?? ????????while(array[i]?<=?key?&&?i?<?j)?? ????????{?? ????????????i++;?? ????????}?? ????????array[j]?=?array[i];?? ?? ????????while(array[j]?>=?key?&&?i?<?j)?? ????????{?? ????????????j--;?? ????????}?? ????????array[i]?=?array[j];?? ????}?? ????array[i]?=?key;?? ?????? ????return?i;?? }?? ?? void?quicksort(int?*array,?int?low,?int?high)?? {?? ????int?index;?? ????int?i?=?low;?? ????int?j?=?high;?? ?? ????if(i?<?j)?? ????{?? ????????index?=?partition(array,?low,?high);?? ?????????? ????????quicksort(array,?low,?index?-?1);?? ????????quicksort(array,?index?+?1,?high);?? ????}?? }??
排完序之后就可以直接得到最值了！
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解法四：Sparse?Table(ST)?algorithm
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?????? ST算法是一種比較高效的在線處理RMQ問題的算法，所謂在線算法，是指每輸入一個查詢就會馬上處理這個查詢。ST算法首先會對序列做預處理，完成之后就可以對查詢做回答了。
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?????? 分析：
?????????????? 預處理：O(N * LogN)。
???????????????查詢：O(1)，這樣的查詢正是我們想要的。
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好了，我來詳細講述一下ST算法：
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?????? 預處理：首先用維護一個數組M[N][LogN]，M[i][j]的值是從原序列A的i位置開始，連續2j?個元素的最小值的下標，如下所示：
?????? 那么，我們如何計算M[i][j]呢？
?????? 我們采用DP的思想將區間分成兩部分，即M[i][j?-?1]和M[i][2^(j?-?1)]?，F在我們只需比較這兩個子區間就可以得到M[i][j]了。比較規則如下：
于是乎，就可按照此寫出代碼：
[cpp]?view plaincopyprint?
void?Proprocessing(int?M[N][logN],?int?*A,?int?N)?? {?? ????int?i,?j;?? ?????? ????for(j?=?1;?(1?<<?j)?<?N;?j++)?? ????{?? ????????for(i?=?0;?(i?+?(1?<<?j)?-?1)?<?N;?i++)?? ????????{?? ????????????if(A[?M[i][j?-?1]?]?<?A[?M[i?+?(1?<<?(j?-?1))][i?-?1]])?? ????????????{?? ????????????????M[i][j]?=?M[i][j?-?1];?? ????????????}?? ????????????else?? ????????????{?? ????????????????M[i][j]?=?A[?M[i?+?(1?<<?(j?-?1))][i?-?1]];?? ????????????}?? ????????}?? ????}?? }??
解法五：線段樹
?????? 我們也可用線段樹來解決RMQ問題，如需了解線段樹，請到此一游：
?????? 線段樹：http://en.wikipedia.org/wiki/Segment_tree
線段樹的構造口訣：
ok，我們根據口訣，并用上面的例子構造了線段樹，如下：
?????? 那么將線段樹應用到RMQ問題中，首先，維護一個有2^([logN]?+?1?+?1)?元素，名為M的數組，即M[2^([logN]?+?1?+?1)]，我先來解釋一些數組M的意義：M[i]表示已劃分節點區間的最小值的位置（下標）。
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??? 知道了這些，那我們就通過代碼來實現線段樹的構造，并通過節點所代表的值來計算得到數組M。代碼如下:
[cpp]?view plaincopyprint?
void?init_tree(int?node,?int?low,?int?high,?int?*array,?int?*M)?? {?? ? ? ? ? ? ?? ????????if(low?==?high)??? ????????{?? ????????????????M[node]?=?low;?? ????????}?? ????????else?? ????????{?? ????????????????init_tree(2?*?node,?low,?(low?+?high)/2,?array,?M);?? ????????????????init_tree(2?*?node?+?1,?(low?+?high)/2?+?1,?high,?array,?M);?? ?? ????????????????if(array[?M[2?*?node]?]?<=?array[?M[2?*?node?+?1]?])??? ????????????????{?? ????????????????????????M[node]?=?M[2?*?node];?? ????????????????}?? ????????????????else?? ????????????????{?? ????????????????????????M[node]?=?M[2?*?node?+?1];?? ????????????????}?? ????????}?? }??
通過代碼，可得到構造線段樹的復雜度為O(N)。
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?????? 線段樹構造成功，接下來就是查詢了。我們知道，線段樹查詢所需的時間為O(LogN)。因為我們在前面已經了解了線段樹的幾種操作，所以查詢在這就不贅述了，直接看代碼吧！
[cpp]?view plaincopyprint?
int?query(int?node,?int?low,?int?high,?int?*a,?int?*b,?int?i,?int?j)?? {?? ? ? ? ? ? ? ?? ????int?s,?t;?? ????if(i?>?high?||?j?<?low)?? ????????return?-1;?? ?? ????if(low?>=?i?&&?high?<=?j)?? ????????return?b[node];??? ?? ????s?=?query(2?*?node,?low,?(low?+?high)/2,?a,?b,?i,?j);?? ????t?=?query(2?*?node?+?1,?(low?+?high)/2?+?1,?high,?a,?b,?i,?j);?? ?? ????if(s?==?-1)?? ????????return?b[node]?=?t;?? ????if(t?==?-1)?? ????????return?b[node]?=?s;?? ?? ????if(a[s]?<=?a[t])?? ????????return?b[node]?=?s;?? ????else?? ????????return?b[node]?=?t;?? }??
第三節?LCA?Algorithm
?????? LCA算法的概念我們已經知道了，那我們就來看看它的實現過程吧！
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?????? 對于一棵樹，在這我用二叉樹，如下圖所示。我們要找節點8和節點9的最近公共祖先，即節點2。
???????附注：有些朋友說這個問題可以當做兩條鏈表是否相交的問題來解決，我們只需分別得到兩個節點到根節點的路徑，而這兩條路徑就是兩條鏈表，問題就迎刃而解了。顯然這是可行的。
戰前準備：
?????? 數組T[i]：表示樹中某個節點i的父節點；
?????? 數組L[i]：表示樹中的某個節點i。
?????? 維護數組：P[N][LogN]：其中，P[i][j]表示樹中i節點的第j個祖先。
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實現的過程如下：
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利用二分檢索判斷節點p和節點q是否在樹的同一層：
???????如果在同一層，那么我們通過DP思想，不斷地求LCA(p?=?P[p][j]，q?=?P[q][j])，一旦?p?=?q就停止，因為此時p和q的父節點是一樣的，也就是說我們找到了最近公共祖先。
????如果不在同一層，如果p?>?q，也就是說p相對與q，p在樹的更深層。此時，我們仍然通過DP思想來找到q與p的祖先在同一層的節點，即q?=?p_祖先。接下來就可按照在同一層的做法做了。
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實現就是這么簡單。
首先是預處理得到維護數組P[N][LogN]：
[cpp]?view plaincopyprint?
void?preprocessing(int?*t,?int?n,?int?p[][max])?? {?? ????int?i,?j;?? ?? ????for(i?=?0;?i?<?n;?i++)?? ????????p[i][0]?=?t[i];?? ?? ????for(j?=?1;?(1?<<?j)?<=?n;?j++)?? ????{?? ????????for(i?=?0;?i?<?n;?i++)?? ????????{?? ????????????if(p[i][j?-?1]?!=?-1)?? ????????????????p[i][j]?=?p[p[i][j?-?1]][j?-?1];?? ????????}?? ????}?? }??
接下來就是查詢了，如下：
[cpp]?view plaincopyprint?
int?query(int?*t,?int?*l,?int?s,?int?t,?int?n,?int?p[][max])?? {?? ????int?tmp,?lg,?i;?? ????if(l[s]?<?l[t])?? ????{?? ????????tmp?=?s;s?=?t;t?=?tmp;?? ????}?? ?? ????for(lg?=?1;?(1?<<?lg)?<=?l[s];?lg++);?? ?? ????for(i?=?lg;?i?>=?0;?i--)?? ????{?? ????????if((l[s]?-?(1?<<?i))?>=?l[t])?? ????????????s?=?p[s][i];?? ????}?? ?? ????if(s?==?t)?? ????????return?s;?? ?? ????for(i?=?lg;?i?>=?0;?i--)?? ????{?? ????????if(p[s][i]?!=?-1?&&?p[s][i]?!=?p[t][i])?? ????????{?? ????????????s?=?p[s][i];?? ????????????t?=?p[t][i];?? ????????}?? ????}?? ????return?t[s];?? }??
?????? 上面說的LCA的這種算法應該是最容易想到的，預處理過程O(NLogN)，查詢O(LogN)。還有一種類似于RMQ分割法德算法，我先就不在這贅述了，以后有時間一定補上。
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第四節 結束語
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?????? 想想、寫寫、畫畫.......
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后續：本文后半部分拖得周期較長，因此寫的比較匆忙。如果本文的內容有任何不妥之處，請指正！
總結
以上是生活随笔為你收集整理的深入理解RMQ LCA的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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