問題定義：

給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值(0<i<j<n)。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2}，它的和是8,達到最大；而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，它的和是6。

方法一：學過程序設計的都會，那就是枚舉i和j，求i和a[i]到a[j]之間的和的最大值。

int maxsub(int *a,int n)

{

　　int i,j,k,maxn=0;

　　for(i = 0 ; i < n ; i++)

　　{

　　　　for(j = i+1 ; j < n ;j++)

　　　　{

　　　　　　int temp_max = 0 ;

　　　　　　for(k = i ; k <= j ;k++)

　　　　　　{

　　　　　　　　temp_max+=a[k];

　　　　　　}

　　　　　　if(temmax > maxn)

　　　　　　{

　　　　　　　　maxn = temp_max;

　　　　　　}

　　　　}

　　}

　　return maxn;

}

時間復雜度O（n^3）。這顯然是不能接受滴。其實這其中進行了大量的重復計算。

?

方法二：

可以把字段和結果線計算出來啊，存儲到s[]數組中，即預處理

int sum = 0.s[n];

for(i = 0 ; i < n ; i++)

{

　　sum+=a[i];

　　s[i]=sum;

}

這樣在每次計算a[i]到a[j]之間的數和的時候就等于s[j]-s[i]。如此優化時間復雜度變為O（n^2）.好一些了，能不能優化呢？顯然在優化就是O（n*logn）和O（n）了吧！

?

方法三：

考慮能不能有O（n*logn）的算法呢？當然有了……

如果將給定的序列a[1..n]分成長度相等的兩段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分別求出這兩段的最大字段和。則該給定序列的最大字段和有三種情行：

1）和a[1..n/2]的最大字段和相同。

2）和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。

3）最大字段和包含兩部分，一部分在中，另一部分在a[n/2+1..n]中。

前兩種情形我們可以用遞歸方法求出，第三種情形可以分別求出兩部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]這部分求最大字段和要以a[n/2]結束，a[n/2+1..n] 這部分求最大字段和要以a[n/2+1]開始）。序列的最大字段和即為這三種情形的最大值。

int maxSubItem(int *a,int low,int high)

{

　　int s1,s2,s31,s32,i,j;

　　int sum;

　　int mid = ( low + high ) / 2;

　　if(low == high)

　　　　return a[low];

　　else

　　{

　　　　s1 = maxSubItem(a,low,mid);

　　　　s2 = maxSubItem(a,mid+1,high);

　　　　i = mid;

　　　　s31 = a[mid];

　　　　while ((s31 + a[i-1] > s31) && (i > low))

　　　　{

　　　　　　s31 += a[i-1];

　　　　　　i--;

　　　　}

　　　　j = mid + 1;

　　　　s32 = a[mid + 1];

　　　　while ((s32 + a[j + 1] > s32) && (j < high))

　　　　{

　　　　　　s32 += a[j + 1];

　　　　　　j++;

　　　　}

　　　　sum = s31 + s32;

　　　　if(sum < s1) sum = s1;

　　　　if(sum < s2) sum = s2;

　　}

}

這種情況下，顯然時間復雜度為O(n*logn)。要是有O（n）的算法該多好呢？事實上還真有。這自然就是要想到動態規劃了吧！！！

方法四：

int maxsub(int a,int n)

{

　　int temp = 0,maxn = -INF,k=1

　　int start,end;

　　for(i = 1 ; i <= n ;i++)

　　{

　　　　temp+=a[i];

　　　　if(temp > maxn)

　　　　{

　　　　　　maxn = temp;start = k ;end = i;

　　　　}

　　　　if(temp < 0)

　　　　{

　　　　　　temp = 0;k = i+1;

　　　　}

　　}

　　return maxn;

}

分析一下這個算法，借用了一個臨時變量temp，其實有三種情況：

1. 若temp>maxn則更新maxn，并保存開始和結束位置；

2. 若temp<0則令temp = 0，因為temp<0則不可能繼續用temp更新最大值了；

3. 若0<temp<maxn，則不作操作，這是temp被認為是有潛力的，可能會用來更新后面的值。這樣的一次遍歷搜索到了所有的最大值。

（temp的使用時關鍵，好好理解這種思想。理解不了也沒關系，這是比較難想的方法。）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的求解最大字段和的几种方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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