?如果一個系統由n個變量和m個約束條件組成，其中每個約束條件形如：xj-xi<=bk，其中，1<=i,j<=n, 1<=k<=m。則稱其為差分約束系統(System of difference constraints)。差分約束系統就是求解關于一組變量的不等式組的方法。

??? 求解差分約束系統，可以轉化為圖論中的單源最短路徑問題。

??? 觀察約束條件xj-xi<=bk，會發現它類似于最短路中的三角不等式d[u]<=d[v]+w[u,v](即d[u]-d[v]<=w[u,v])。因此，以每個變量xi為結點，對于約束條件xj-xi<=bk，連接一條邊(i,j)，邊權為bk。再增加一個源點s，s與所有的點相連，邊權為0。對這個圖，運行以s為起點的bellman-ford(或者spfa)，最終{d[i]}即為一組可行解。

　引理：設x=(x1,x2,…,xn)是差分約束系統Ax≤b的一個解，d為任意常數。則x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是該系統Ax≤b的一個解。

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poj3159：發蘋果問題。flymouse是班長，他需要給每個同學發一定數量的蘋果，但是學生之間會有比較，有的學生(編號為a)認為某個學生b的蘋果數不能超過他v個(Sb-Sa<=v)。flymouse的編號為1，現在要求滿足學生要求，并且使S1 - Sn最大。

解：從a到b連接一條有向邊，權值為v。以1為起始點，求到每個點的最短路徑，最終dis[n]即為所求。

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poj1364：有一個國王，它只會算連續的數的加法，假設一串數{a1,a2,...an}，給出條件si，ni，operator，ki，意思是從si到si+ni這段數的和>或者<ki。現在又n組這樣的條件，判斷這些條件是否存在矛盾。

解：設S[i]表示從串開頭1到i的和，S[0]=0，則條件可轉化為：S[ni+si] - S[si-1] > ki(or <)。由于S[i]均為整數，可以轉化為：S[ni+si] - S[si-1] >= ki?+ 1(or <= ki-1)。先將條件全部轉化為<=形式，再添加超級源點n+1，到其余各點連接一條邊，權值為0。利用spfa判斷負環的存在。

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poj2983：有兩個敵對勢力，a方想弄清楚b方的n個防御站的位置，通過一些地下組織。地下組織提供多條情報，你要判斷這些情報是否可靠。情報分為兩種：P A B X：A站在B站北邊X公里；V A B：A站在B站北邊至少1公里，但具體多遠不清楚。現在給出n個站和m條情報，判斷這m條情報是否可靠。

解：設S[i]表示i站距離最南邊的距離，S[0]=0，則情報可以轉化為S[A]-S[B]<=X&&S[A]-S[B]>=X；S[A] - S[B]>=1。首先將這些不等式全部轉化為<=，求最短路用bellmanford判斷負環。

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poj1201：給出n(n=50000)段連續的整數(整數均小于50000)，要求出一個最小的集合Z，至少包含第i段里面ci個數。

解：S[i]表示Z集合從0到i-1中取的整數的個數。對于段[a,b]取不小于c個數，則有：S[b+1]-S[a]>=c。顯然，這是求最長路。（用spfa注意添加源點）

有關差分約束系統建模問題，可參

總結

以上是生活随笔為你收集整理的差分约束系统——建模与求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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