生活随笔
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区间动态规划
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
1、矩陣連乘，tyvj 1198(最優矩陣連乘)，關鍵是寫出動態轉移方程。用DP[i][j]表示矩陣Ai乘到Aj的最優解，P[]用來存儲矩陣的行和列，M[i-1]表示矩陣i的行，M[i]表示矩陣i的列。
當i==j時，DP[i][i]=0；
當i<j時，可以假設他從k位置隔開。比方說從A3..A8。那么A1A2(A3A4A5A6A7A8)A9。我們知道若A矩陣為r1*c的矩陣，A2為c*r2的矩陣，得到的將是一個r1*r2的矩陣，且連乘次數為r1*c*r2。假設我從5位置隔開，就可以分為A1A2((A3A4A5)(A6A7A8))A9。那么這個時候的次數為：DP[3][5]+DP[6][8]+M[2]*M[5]*M[8](A3的行*A5的列*A8的列)。那么我只需要模舉這其中的組合然后取最小值即可，這個時候的動態轉移方程為:DP[i][j]=min(DP[i][k]+DP[k+1][j]+M[i-1]*M[k]*M[j])(i<=k<j)。
問題是：你要知道DP[i][k]和DP[k+1][j]的值，你才可以和DP[i][j]做比較，才能求出DP[i][j]的值。
思想是先求出相鄰組的連乘次數，如一開始算相鄰兩個相乘，如圖：
那么每兩個相乘的結果我們可以得到。同理繼續求三個相鄰的結果。
計算的話比方說要求A1A2A3，可以化為(A1)(A2A3)=DP[1][1]+DP[2][3]+M[0]*M[1]*M[3]，依次類推結果為:DP[i][j]=DP[i][i]+DP[i+1][j]+M[i-1]*M[i]*M[j]。
只有這樣做后我才可以求任意組合的次數，求出三個一組的結果后，我就可以求任意的四個矩陣連乘的最小值。如:A4A5A6A7，隨便怎么組合，通過上面是計算都可以求出相應的結果。
現在討論下范圍：用r保存要求的每每相鄰的組數(2<=r<=n)(從2開始是這里前提條件是i<j)，i的范圍為：(1<=i<=n-r+1,稍作推理就知道，當r=3時，即三個三個一組時i<=9-3+1=7)，j的值固定j=r+i-1，具體見代碼：
[cpp]?view plaincopyprint?
#include<iostream>?? #include<cstring>?? #include<cstdio>?? using?namespace?std;?? const?int?MAX=110;?? #define?min(a,b)?(a)<(b)?(a):(b)?? #define?CLR(arr,val)?memset(arr,val,sizeof(arr))?? int?n,M[MAX],DP[MAX][MAX];?? void?Matrix()?? {???for(int?r=2;r<=n;r++)?????????? ????????for(int?i=1;i<=n-r+1;i++)???? ????????{???int?j=r+i-1;?? ????????????DP[i][j]=DP[i+1][j]+M[i-1]*M[i]*M[j];?? ????????????for(int?k=i;k<j;k++)?? ????????????????DP[i][j]=min(DP[i][k]+DP[k+1][j]+M[i-1]*M[k]*M[j],DP[i][j]);?? ????????}??? }?? int?main()?? {???scanf("%d",&n);?? ????for(int?i=0;i<=n;i++)?? ????????scanf("%d",&M[i]);??? ????CLR(DP,0);?? ????Matrix();?? ????cout<<DP[1][n]<<endl;??????? ????return?0;?? }??
路徑輸出：
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#include<iostream>????? #include<cstring>????? #include<cstdio>????? using?namespace?std;???? const?int?MAX=110;???? #define?CLR(arr,val)?memset(arr,val,sizeof(arr))????? int?n,M[MAX],DP[MAX][MAX],s[MAX][MAX];???? void?Matrix()???? {???for(int?r=2;r<=n;r++)???????????? ????????for(int?i=1;i<=n-r+1;i++)?????? ????????{???int?j=r+i-1;???? ????????????DP[i][j]=DP[i+1][j]+M[i-1]*M[i]*M[j];???? ????????????s[i][j]=i;??? ????????????for(int?k=i;k<j;k++)???? ????????????{???int?temp=DP[i][k]+DP[k+1][j]+M[i-1]*M[k]*M[j];???? ????????????????if(temp<DP[i][j])?? ????????????????{???s[i][j]=k;?? ????????????????????DP[i][j]=temp;?? ????????????????}?? ????????????}???? ????????}????? }???? void?Find(int?i,int?j)???? {???if(i==j)???? ????{???cout<<'A'<<i;????? ????????return?;???? ????}???? ????if(i<s[i][j])?cout<<"(";????? ????Find(i,s[i][j]);???? ????if(i<s[i][j])?cout<<")";???? ????if(s[i][j]+1<j)?cout<<"(";?????? ????Find(s[i][j]+1,j);????? ????if(s[i][j]+1<j)?cout<<")";????? }???? int?main()???? {???scanf("%d",&n);???? ????for(int?i=0;i<=n;i++)???? ????????scanf("%d",&M[i]);????? ????CLR(DP,0);???? ????Matrix();???? ????Find(1,n);???? ????cout<<endl<<DP[1][n]<<endl;????????? ????return?0;???? }????
2、NYOJ 15(括號匹配)，令DP[i][j]表示字符串s的第i個字符到第j個字符需要添加的最少括號數。
①、當i==j時，只有一個符號，需再添加一個字符，所以DP[i][i]=1；
②、當i<j時，若是s[i]與S[j]配對，那么DP[i][j]=DP[i+1][j-1];
若是不配對，那么從中任選一個字符作為分界點，i<=k<j，就有:DP[i][j]=min(DP[i][j],DP[i][k]+DP[k][j])。具體實現和上例一樣:
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#include<iostream>?? #include<string>?? #include<cstring>?? using?namespace?std;?? const?int?MAX=1010;?? #define?min(a,b)?(a)<(b)?(a):(b)?? #define?CLR(arr,val)?memset(arr,val,sizeof(arr))?? string?s;?? int?n,DP[MAX][MAX];?? bool?pipei(char?c1,char?c2)?? {???if(c1=='('&&c2==')'||c1=='['&&c2==']')?return?true;?? ????return?false;???? }?? int?main()?? {???cin>>n;?? ????cin.get();?? ????while(n--)?? ????{???cin>>s;?????? ????????CLR(DP,0);?? ????????int?len=s.length();?? ????????for(int?i=1;i<=len;i++)?DP[i][i]=1;?? ????????for(int?r=2;r<=len;r++)?? ????????????for(int?i=1;i<=len-r+1;i++)?? ????????????{???int?j=r+i-1;?? ????????????????DP[i][j]=MAX;??? ????????????????if(pipei(s[i-1],s[j-1]))?DP[i][j]=DP[i+1][j-1];?? ????????????????for(int?k=i;k<j;k++)?? ????????????????????DP[i][j]=min(DP[i][k]+DP[k+1][j],DP[i][j]);????? ????????????}??? ????????cout<<DP[1][len]<<endl;???????? ????}?? ????return?0;?? }??
3、石子合并:Tyvj 1055(石子合并)，和這個題目類似的是Tyvj 1062(合并傻子)。
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#include<iostream>?? #include<cstring>??? using?namespace?std;?? const?int?MAX=1010;?? #define?CLR(arr,val)?memset(arr,val,sizeof(arr))?? int?n,a[MAX],sum[MAX][MAX],DP[MAX][MAX];?? int?Sand()?? {???for(int?r=2;r<=n;r++)?? ????????for(int?i=1;i<=n-r+1;i++)?? ????????{???int?j=i+r-1;?? ????????????DP[i][j]=DP[i+1][j]+sum[i][j];?? ????????????for(int?k=i;k<j;k++)?? ????????????????DP[i][j]=min(DP[i][j],DP[i][k]+DP[k+1][j]+sum[i][j]);?? ????????}?? ????return?DP[1][n];??? }??? int?main()?? {???cin>>n;?? ????for(int?i=1;i<=n;i++)?? ????????cin>>a[i];?? ????CLR(DP,0);?? ????CLR(sum,0);?? ????for(int?i=1;i<=n;i++)?? ????????for(int?j=i;j<=n;j++)?? ????????????sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[j];?????????? ????cout<<Sand()<<endl;????????????? ????return?0;?? }???
4、加分二叉樹。Tyvj 1073(加分二叉樹)。
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#include<iostream>?? #include<cstring>?? using?namespace?std;?? const?int?MAX=50;?? #define?CLR(arr,val)?memset(arr,val,sizeof(arr))?? long?n,a[MAX],DP[MAX][MAX],s[MAX][MAX];?? int?flag=1;?? long?Max()?? {???for(int?r=2;r<=n;r++)?? ????????for(int?i=1;i<=n-r+1;i++)??? ????????{???int?j=i+r-1;?? ????????????DP[i][j]=DP[i+1][j]+a[i];?? ????????????s[i][j]=i;??? ????????????for(int?k=i+1;k<j;k++)?? ????????????{???int?temp=DP[i][k-1]*DP[k+1][j]+a[k];????????????? ????????????????if(temp>DP[i][j])?? ????????????????{???DP[i][j]=temp;?? ????????????????????s[i][j]=k;?? ????????????????}??? ????????????}?? ????????}?????? ????return?DP[1][n];?????? }?? void?Search(int?L,int?R)?? {???if(L>R)?return?;??? ????if(flag)?flag=0;?? ????else?cout<<"?";??? ????cout<<s[L][R];?? ????if(L==R)?return?;?? ????Search(L,s[L][R]-1);???? ????Search(s[L][R]+1,R);?? }?? int?main()?? {???cin>>n;?? ????CLR(DP,0);?? ????for(int?i=1;i<=n;i++)?? ????{???cin>>a[i];?? ????????DP[i][i]=a[i];??? ????}?? ????cout<<Max()<<endl;?? ????for(int?i=1;i<=n;i++)?? ????????s[i][i]=i;??? ????Search(1,n);?? ????cout<<endl;?? ????return?0;?? }??
題5：牢房：
描述
????????SB王國中有一個奇怪的監獄，這個監獄里一共有P間牢房，這些牢房一字排開，從左到右按1到P進行編號，第i間后面緊挨著第（i+1）間（最后一間除外）。現在有P名罪犯被關押在這P間牢房里。某一天，上級下發了一個釋放名單，要求每天釋放名單上的一個人。這可把監獄中的看守們嚇得不輕，因為看守們知道，現在牢房中的P個人，可以相互之間傳話。如果某個人離開了，那么原來和這個人能夠傳上話的人都會很氣憤，導致他們那天會一直大吼大叫，搞得看守們很是頭疼，但是如果給這些要發火的人吃上肉，他們就會安靜。現在看守們想知道，如何安排釋放的順序，才能使得他們花費的肉錢最少。1<=p<=1000,1<=Q<=100
輸入
第一行兩個數P和Q，Q表示要釋放名單上的人數；
第二行Q個數，表示釋放哪些人
輸出
僅一行，表示最少給多少人次送肉.
樣例輸入
20?3
3?6?14
樣例輸出
35
提示:（樣例說明）
???????先釋放14號監獄中的罪犯，要給1到13號監獄和15到20號監獄中的19人送肉吃；再釋放6號監獄中的罪犯，要給1到5號監獄和7到13號監獄中的12人送肉吃；最后釋放3號監獄中的罪犯，要給1到2號監獄和4到5號監獄中的4人送肉吃。
分析：用DP[i][j]表示在[i,j]區間所有該被釋放的人都被釋放的最小支付代價。
若是釋放k，那么代價為DP[i][k-1]+DP[k+1][j]+(j-i)，所以動態轉移方程為：DP[i][j]=min(DP[i][k-1]+DP[k+1][j]+(j-i)).
[cpp]?view plaincopyprint?
#include<iostream>?? #include<cstring>?? #include<cstdio>?? #include<algorithm>??? using?namespace?std;?? const?int?MAX=1010;?? const?int?Inf=100000000;?? int?n,m,a[MAX],sum[MAX],DP[MAX][MAX];?? int?main()?? {???for(int?i=0;i<MAX;i++)??? ????{???fill(DP[i],DP[i]+MAX,Inf);?? ????????DP[i][i]=0;??? ????}??? ????scanf("%d%d",&n,&m);?? ????for(int?i=1;i<=m;i++)?? ????????scanf("%d",&a[i]);?? ????sort(a+1,a+m+1);???? ????for(int?i=1;i<=m;i++)?? ????????sum[i]=a[i]-a[i-1]-1;?? ????sum[m+1]=n-a[m];?? ????for(int?i=1;i<=m+1;i++)?? ????????sum[i]=sum[i]+sum[i-1];?? ????for(int?i=m+1;i>=1;i--)?? ????????for(int?j=i+1;j<=m+1;j++)?? ????????????for(int?k=i;k<j;k++)?? ????????????????DP[i][j]=min(DP[i][j],DP[i][k]+DP[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]+j-i-1);???????????? ????printf("%d\n",DP[1][m+1]);?? ????return?0;?? }??
總結
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