遞歸算法就是通過解決同一問題的一個或多個更小的實例來最終解決一個大問題的算法。為了在C語言中實現(xiàn)遞歸算法，常常使用遞歸函數(shù)，也就是說能調(diào)用自身的函數(shù)。遞歸程序的基本特征：它調(diào)用自身（參數(shù)的值更小），具有終止條件，可以直接計算其結(jié)果。

????? 在使用遞歸程序時，我們需要考慮編程環(huán)境必須能夠保持一個其大小與遞歸深度成正比例的下推棧。對于大型問題，這個棧需要的空間可能妨礙我們使用遞歸的方法。

???? 一個遞歸模型為分治法，最本質(zhì)的特征就是：把一個問題分解成獨立的子問題。如果子問題并不獨立，問題就會復(fù)雜的多，主要原因是即使是這種最簡單算法的直接遞歸實現(xiàn)，也可能需要難以想象的時間，使用動態(tài)規(guī)劃技術(shù)就可以避免這個缺陷。

???? 例如，斐波那契數(shù)列的遞歸實現(xiàn)如下：

??? int F(int i)

??? {

???????????? if(i < 1)? return 0;

???????????? if(i == 1) return 1;

????????????? return F(i-1) + F(i - 2);

??? }

??? 千萬不要使用這樣的程序，因為它的效率極低，需要指數(shù)級時間。相比之下，如果首先計算前N個斐波那契數(shù)，并把它們存儲在一個數(shù)組中，就可以使用線性時間(與N成正比)計算F。

?

????? F[0] = 0;F[1] = 1;

????? for(i = 2; i <= N; i++)

??????????? F[i] = F[i-1] + F[i-2];

???? 這個技術(shù)給了我們一個獲取任何遞歸關(guān)系數(shù)值解的快速方法，在斐波那契數(shù)的例子中，我們甚至可以舍棄數(shù)組，只需要保存前兩個值。

???? 由上面的討論我們可以得出這樣的結(jié)論：我們可以按照從最小開始的順序計算所有函數(shù)值來求任何類似函數(shù)的值，在每一步使用先前已經(jīng)計算出的值來計算當(dāng)前值，我們稱這項技術(shù)為自底向上的動態(tài)規(guī)劃。只要有存儲已經(jīng)計算出的值的空間，就能把這項技術(shù)應(yīng)用到任何遞歸計算中，就能把算法從指數(shù)級運行時間向線性運行時間改進(jìn)。

??? 自頂向下的動態(tài)規(guī)劃甚至是一個更簡單的技術(shù)，這項技術(shù)允許我們執(zhí)行函數(shù)的代價與自底向上的動態(tài)規(guī)劃一樣(或更小)，但是它的計算是自動的。我們實現(xiàn)遞歸程序來存儲它所計算的每一個值(正如它最末的步驟)，并通過檢查所存儲的值，來避免重新計算它們的任何項(正如它最初的步驟)。這種方法有時也稱作為備忘錄法。

?????????????????????? 斐波那契數(shù)（動態(tài)規(guī)劃）

通過把所計算的值存儲在遞歸過程的外部數(shù)組中，明確地避免重復(fù)計算。這一程序計算的時間與N成正比。

????????????????? int F(int i)

????????????????? {

?

????????????????????????? if(knownF[i] != unknown)

???????????????????????????????? return knownF[i];

????????????????????????? if(i == 0) t = 0;

????????????????????????? if(i == 1) t = 1;

????????????????????????? if(i > 1)? t = F(i - 1) + F(i - 2);

???????????????????????? ?return knownF[i] = t;

????????????????? }

?

?

?????? 性質(zhì)：動態(tài)規(guī)劃降低了遞歸函數(shù)的運行時間，也就是減少了計算所有小于或等于給定參數(shù)的遞歸調(diào)用所要求的時間，其中處理一次遞歸調(diào)用的時間為常量。

?????? 我們不需要把遞歸參數(shù)限制到單整形參數(shù)的情況。當(dāng)有一個帶有多個整形參數(shù)的函數(shù)時，可以把較小子問題的解存儲在多維數(shù)組中，一個參數(shù)對應(yīng)數(shù)組的一維。其他那些完全不涉及整形參數(shù)的情形，就使用抽象的離散問題公式，它能讓我們把問題分解為一個個的小問題。

????? 在自頂向下的動態(tài)規(guī)劃中，我們存儲已知的值；在自底向上的動態(tài)規(guī)劃中，我們預(yù)先計算這些值。我們常常選擇自頂向下的動態(tài)規(guī)劃而不選自底向上動態(tài)規(guī)劃，其原因如下：

???? 1 自頂向下的動態(tài)規(guī)劃是一個自然的求解問題的機械轉(zhuǎn)化。

???? 2 計算子問題的順序能自己處理。

???? 3 我們可能不需要計算所有子問題的解。

???? 我們不能忽視至關(guān)重要的一點是，當(dāng)我們需要的可能的函數(shù)值的數(shù)目太大以至于不能存儲（自頂向下）或預(yù)先計算（自底向上）所有值時，動態(tài)規(guī)劃就會變得低效。自頂向下動態(tài)規(guī)劃確實是開發(fā)高效的遞歸算法實現(xiàn)的基本技術(shù)，這類算法應(yīng)納入任何從事算法設(shè)計與實現(xiàn)所需的工具箱。

總結(jié)

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