People who play with bits should expect to get bitten.

-- Jurg Nievergelt

I failed math twice, never fully grasping probability theory.

I mean, first off, who cares if you pick a black ball or a white ball out of the bag?

And second if you’re bent over about the color, don’t leave it to chance.

Look in the damn bag and pick the color you want.

-- Stephanie Plum

這篇文章接著講怎樣高效地遍歷所有的組合。同樣，假定全集的大小不大于機(jī)器字長(zhǎng)，計(jì)算模型為 word-RAM，即諸如 +, –, *, /, %, &, |, >>, << 等此類操作皆可以在 O(1) 時(shí)間內(nèi)完成。當(dāng)然，一般 / 和 % 操作明顯要慢上一些，因此我們總是希望能夠盡量避免使用兩個(gè)操作。在上一篇 blog 中的子集遍歷比較簡(jiǎn)單，基本上只用到了 +, – , & 三種操作。而組合遍歷相對(duì)要復(fù)雜得多，一些讓人不舒服的操作總是難以避免。下面將要介紹兩種完全不同的組合遍歷算法，其中一種用到了 / 操作，而另一種則使用了三目運(yùn)算符。盡管不算十分完美，也應(yīng)該是足夠高效啦。

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2 遍歷所有組合

2.1 colex & reverse colex

說到各種位運(yùn)算技巧，早年從 MIT 流傳出來的一份技術(shù)報(bào)告 HAKMEM 可謂是一本黑暗圣經(jīng)。在 HAKMEM 的第175條中記錄著一個(gè)非常巧妙而實(shí)用的技巧，被稱為 Gosper’s hack，它僅僅使用幾個(gè)非常簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算和位運(yùn)算，即可得到與當(dāng)前所輸入的整數(shù)含有相同數(shù)目的1的下一個(gè)整數(shù)：

s = x & (-x);

r = s + x;

n = r | (((x ^ r) >> 2) / s);

在上面這段代碼中 x 是輸入，n 是輸出，為大于 x 且與 x 含1個(gè)數(shù)相同的最小整數(shù)。比如若輸入 x = 0b0101, 那么將輸出 n = 0b0110。使用這一技巧使得我們可以非常容易地生成所有組合，代碼如下：（這是一個(gè)成員函數(shù)，完整的代碼可在位運(yùn)算與組合搜索（一）所附的壓縮包中找到）：

bool next(unsigned long &x) const {if (x == last_) return false;unsigned long r, s;s = x & (-(long)x);r = s + x;x = r | (((x ^ r) >> 2) / s);return true; }

上面代碼中的 last_ 表示的是最后一個(gè)組合。這里遍歷組合的序?yàn)?colex，最小的組合是所有1都在低位，而最大的組合（即 last_） 是當(dāng)所有1都在高位。比如若全集為 {a, b, c, d, e}，我們用以上代碼遍歷其所有大小為2的子集，順序?qū)⑷缦卤硭?#xff1a;

序號(hào)	值	位串	子集
1	0b00011	11000	{a, b}
2	0b00101	10100	{a, c}
3	0b00110	01100	{b, c}
4	0b01001	10010	{a, d}
5	0b01010	01010	{b, d}
6	0b01100	00110	{c, d}
7	0b10001	10001	{a, e}
8	0b10010	01001	{b, e}
9	0b10100	00101	{c, e}
10	0b11000	00011	{d, e}

現(xiàn)在稍微來解釋 Gosper’ hack 是怎樣工作的：

第一條語句：s = x & (-x)， 用于標(biāo)識(shí)出 x 最低位的1（設(shè)最低的1右邊有 c 個(gè)0）。 e.g. 0b10110 –> 0b00010

第二條語句：r = s + x， 將 x 右端的連續(xù)一段1清零（紅色標(biāo)識(shí)的部分，設(shè)這一段有 k 個(gè)1），并將前一位設(shè)為1。 e.g. 0b10110 –> 0b11000

第三條語句：n = r | (((x ^ r) >> 2) / s)， 這里先用 x 異或 r 得到 k + 1 + c 個(gè)連續(xù)的1。然后右移 2 位，再除于 s （相當(dāng)于右移 c 位），得到 k – 1 位連續(xù)的1，最后添加到 r 的最右邊，打完收工。e.g. 0b11000 | 0b00001 = 0b11001

由于該 hack 中的除法實(shí)際上只是用來移位的，因此可以想辦法繞過去 （如果你實(shí)在看不順眼那個(gè)除號(hào)的話）。比如可以使用 bsr 指令計(jì)算出 c ，然后直接移位即可。但經(jīng)過我的測(cè)試，發(fā)現(xiàn)還是直接除法來得比較快。

// Find last bit set static inline unsigned long __fls(unsigned long x) {__asm bsr eax, x; }

現(xiàn)在如果想要反向生成所有的組合那又該如何呢，其實(shí)很簡(jiǎn)單，因?yàn)?colex 具有一種某種意義上的對(duì)稱性：某個(gè)組合的前一個(gè)組合等于這個(gè)組合的補(bǔ)集的下一個(gè)組合的補(bǔ)集。如果我們想要得到組合 x 按照 colex 的上一個(gè)組合，只需生成 ~x 的下一個(gè)組合，再取反即可：

bool prev(unsigned long &x) const {if (x == first_) return false;x = ~x;next(x);x = ~x;return true; }

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2.2 cool-lex & reverse cool-lex

cool-lex，顧名思義，就是非常 cool 的 lex。cool-lex 是由 Frank Ruskey 和 Aaron Williams 發(fā)明的，如果想要詳細(xì)的了解 cool-lex 的性質(zhì)，可以看一下參考文獻(xiàn)6。另外在這里還有一段 cool-lex 的音樂，感興趣的可以試聽一下。雖然它不怎么好聽，也顯然不可能給你帶來關(guān)于 cool-lex 的任何洞見。下面我只簡(jiǎn)單介紹一下怎樣按照 cool-lex 或者反向 cool-lex 進(jìn)行組合遍歷。

cool-lex 的生成算法是基于后綴旋轉(zhuǎn)的（如果是針對(duì)位串表示則是前綴旋轉(zhuǎn)，但下面我們都是針對(duì)二進(jìn)制整數(shù)表示，也就是低位在右邊）：找到最短的以010或者110開始的后綴（如果不存在則選定全部位），然后向左旋轉(zhuǎn)1位。比如組合0b01101,? 首先找出最短的以010或者110開始的后綴（用紅色表示）：0b01101，然后將這個(gè)后綴向左旋轉(zhuǎn)1位（即循環(huán)左移1位）即得到下一個(gè)組合：0b01011。

如何借助于位運(yùn)算高效的完成后綴旋轉(zhuǎn)呢，Donald 在 TAoCP 中7.2.1.3節(jié)習(xí)題55的答案中給出了一個(gè) MMIX 實(shí)現(xiàn)。下面的代碼是我寫的一個(gè)C++版：

bool next(unsigned long &x) const {if (x == last_) return false;unsigned long r, s;r = x & (x + 1);s = r ^ (r - 1);r = ((s + 1) & x) ? s : 0;x = x + (x & s) - r;return true; }

上面代碼中的 last_ 當(dāng)然也是指最后一個(gè)組合。cool-lex 中的第一個(gè)組合也是所有1在低位，即類似于這樣：0b0…01…1。最后一個(gè)組合是1個(gè)1在最高位，而其余的1在低位，即形如 0b10…01…1。這段代碼到底是怎么起作用的？你猜！我就不分析了，不過我等下會(huì)詳細(xì)解釋生成 reverse cool-lex 的代碼。下表是 cool-lex 序的一個(gè)例子（同樣，全集為 {a, b, c, d, e}，子集大小為 2）：

序號(hào)	值	位串	子集
1	0b00011	11000	{a, b}
2	0b00110	01100	{b, c}
3	0b00101	10100	{a, c}
4	0b01010	01010	{b, d}
5	0b01100	00110	{c, d}
6	0b01001	10010	{a, d}
7	0b10010	01001	{b, e}
8	0b10100	00101	{c, e}
9	0b11000	00011	{d, e}
10	0b10001	10001	{a, e}

現(xiàn)在來講怎樣反向遍歷 cool-lex。reverse cool-lex 被提到的不多，網(wǎng)上以及各種文獻(xiàn)上也并沒有生成 reverse cool-lex 的代碼，因此我只好自己寫了一個(gè)。想要得到高效的 cool-lex 反向遍歷代碼，首先需要一個(gè)簡(jiǎn)單的生成規(guī)則。這個(gè)規(guī)則其實(shí)根據(jù)正向 cool-lex 的規(guī)則可以很容易地yy出來：找到最短的以100或者101開始的后綴（如果不存在則選定全部位），然后向右旋轉(zhuǎn)1位。（后來我向 Frank 請(qǐng)教了一下，他說這個(gè)規(guī)則的確是正確的，另外還告訴我 Aaron 的另一篇文章 “l(fā)oopless generation of multiset permutations by prefix shifts” 對(duì) reverse cool-lex 作了介紹。）

規(guī)則有了，還剩下最后一個(gè)問題，那就是怎樣借助于位運(yùn)算高效的實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則。下面是我的實(shí)現(xiàn)：

bool prev(unsigned long &x) const {if (x == first_) return false;unsigned long r, s, v;v = x | 1;r = v & (v + 1);s = r ^ (r - 1);v = s & x;r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0;x = x & (~s) | r | (v >> 1);return true; }

上面的代碼中，基本上都是非常基礎(chǔ)的位運(yùn)算技巧，如果你對(duì)此并不熟悉，不妨看一下參考文獻(xiàn)1或3。首先，我們需要找到最短的以 100 或者 101 開始的后綴，這將通過下面四條語句來完成：

第一條語句：v = x | 1，將最低位置1。e.g. 0b01010 –> 0b01011

第二條語句：r = v & (v + 1)，清除右邊連續(xù)的1。 e.g. 0b01011 –> 0b01000

第三條語句：s = r ^ (r – 1)，標(biāo)記最低位的1以及其后的0。e.g. 0b01000 –> 0b01111

第四條語句：v = s & x，得到后綴。e.g. 0b01111 & 0b01010 –> 0b01010

至此，滿足條件的后綴已經(jīng)找出來了，下一步的工作就是將它右旋一位：

第五條語句：r = (v & 1) ? s - (s >> 1) : 0， 得到旋轉(zhuǎn)后的后綴的最高位。 e.g. 0b01111 - 0b00111 –> 0b01000

第六條語句：x = x & (~s) | r | (v >> 1)，將后綴右移一位，與最高位相或，再與其余不相干的位合并，即得到最終結(jié)果。 e.g. 0b00101

在第五條語句用到了三目運(yùn)算符，這里其實(shí)也可以借助 bsr 指令繞過去。我并沒有比較哪種更快一些。

完。（做人要厚道，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處：http://www.cnblogs.com/atyuwen/）

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3 參考文獻(xiàn)

Henry S. W., Hacker’s Delight.

J?rg A., Matters Computational.

Donald E. K., The Art of Computer Programming: Bitwise Tricks and Techniques. Volume 4, Pre-Fascicle 1A.

Donald E. K., The Art of Computer Programming: Generating all Combinations and Partitions. Volume 4, Fascicle 3.

Beeler M., Gosper R. W., and Schroeppel R., HAKMEM

Frank R., Aaron W., The Coolest Way To Generate Combinations.

P.S. 對(duì)于我這種從小就怕寫作文的人來說，寫篇稍正式一點(diǎn)的技術(shù)文章實(shí)在是太辛苦了，因此關(guān)于位運(yùn)算與組合搜索就先寫到這里，雖然有很多想說的還沒有談到。以后有心情了再來討論怎樣高效實(shí)現(xiàn)（一）中提到的映射操作及其逆操作。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/atyuwen/archive/2010/08/05/bit_comb_2.html

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總結(jié)

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