如果我們以 1519 年為分界線，回望在它之前和之后的 500 年間數(shù)學(xué)的進(jìn)展，你會(huì)發(fā)現(xiàn)在 1519 年之前是幾乎風(fēng)平浪靜的 500 年，鮮有新的數(shù)學(xué)出現(xiàn)。在那段時(shí)間，數(shù)學(xué)似乎在全世界都陷入了一種停滯狀態(tài)，只有印度在代數(shù)和三角學(xué)領(lǐng)域獲得了一些重大進(jìn)步。

　　相比之下，1519 年之后的這個(gè) 500 年里，數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出了爆炸式的增長，而且這種速度在 21 世紀(jì)似乎在顯著加快?？梢哉f，過去的 500 年是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的 500 年。那么在這 500 年的數(shù)學(xué)歷史中，都發(fā)生了什么？這是我們今天的主題。我們將沿著四個(gè)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想去回顧這 500 年（當(dāng)然，不止四個(gè)， 還有許多偉大的數(shù)學(xué)思想在本文中并沒有被提及）。

　　1.

　　如果說有哪個(gè)事件能夠劃分經(jīng)典數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)，那就是對(duì)三次方程的求解了。這一事件意味著，數(shù)學(xué)家們的探索領(lǐng)域終于超越了古希臘人所做的一切。從那時(shí)起，代數(shù)為數(shù)學(xué)掀開了新的篇章，并在 20 世紀(jì) 90 年代到達(dá)了頂峰。

二次方程

　　從遙遠(yuǎn)的古代開始，人們就知道二次方程的存在。二次方程的解對(duì)面積計(jì)算等問題非常重要。巴比倫人最先找到了它的解，而解的最終形式是由印度人發(fā)現(xiàn)的。

二次方程的一般解

　　三次方程對(duì)體積的計(jì)算非常重要。同樣，聰慧而樂于思考的巴比倫人也試圖想要得出它的解。但是，求解三次方程是一項(xiàng)艱難得多的挑戰(zhàn)。

三次方程

　　巴比倫人沒能得到一個(gè)最終的一般解，而是創(chuàng)造了一個(gè)可以推導(dǎo)出近似解的列表。雖然也有像Omar Khayyam（1048-1131）這樣的數(shù)學(xué)家曾求得過幾何解，但無論是希臘人還是后來的數(shù)學(xué)家，都無法推導(dǎo)出這個(gè)方程的代數(shù)解。

　　就這樣，求解三次方程的難題就一直存在，無人能解。

　　直到 1520 年代，事情開始慢慢發(fā)生改變。那時(shí)，一位名為希皮奧內(nèi)·德爾·費(fèi)羅（Scipione del Ferro，1465-1526）的意大利數(shù)學(xué)家找到了一般解法，首次解開了缺少二次項(xiàng)的三次方程。

希皮奧內(nèi)·德爾·費(fèi)羅解開的三次方程

　　之后，費(fèi)羅把解法傳授給了他的學(xué)生Fior。而幾乎就在同一時(shí)間，另一位意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞（Tartaglia）也用一種一般解法找到了缺乏一次項(xiàng)的三次方程的解。

塔塔利亞解開的三次方程

　　有趣的是，這則三次方程的求解故事開始朝著一個(gè)非常戲劇化的方向展開：一開始，塔塔里亞將他的公式藏在了一篇詩歌當(dāng)中，他還與 Fior 進(jìn)行了一次問題求解競賽，并且獲得了最終的勝利。接著，在一個(gè)名叫卡達(dá)諾（Cardano）的學(xué)者的勸誘下，塔塔里亞將結(jié)果告訴了他?？ㄟ_(dá)諾向塔塔里亞發(fā)誓，一定會(huì)保守秘密，不將結(jié)果泄露出去。然而事實(shí)卻是，卡達(dá)諾先是從 Fior 那習(xí)得了他的結(jié)果，然后揭露了塔塔里亞的解法，在代數(shù)著作《大衍術(shù)》（Ars Magna）中，發(fā)表了這一結(jié)果。這讓塔塔里亞惱怒不已，至死都沒有原諒卡達(dá)諾。

　　雖然求解的故事頗具戲劇性，但最終我們還是成功地得到了這一偉大的結(jié)果。時(shí)至今日，三次方程的解仍然很重要。例如，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，許多曲線和形狀都需要用三次方程來近似。是這些解讓我們可以計(jì)算出曲線何時(shí)會(huì)相交。

　　三次方程的解帶來了許多重要的數(shù)學(xué)進(jìn)展。例如更高階的多項(xiàng)式方程是否可解就是其中的一個(gè)顯著問題。很快，人們就解出了四次方程，但又再次卡在了五次方程的問題上。直到 19 世紀(jì)，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel，1802-1829）最先找到了解。

五次方程

　　之后，伽羅瓦（Galois，就是那個(gè) 21 歲時(shí)死于決斗的天才數(shù)學(xué)家）證明了有些五次多項(xiàng)式是不能用阿貝爾的方法求解的。伽羅瓦的證明中包含了對(duì)滿足不同根的對(duì)稱性的尋找，他將這一思想發(fā)展到研究一組運(yùn)算所需滿足的一般對(duì)稱性?，F(xiàn)在，這門學(xué)科被稱為群論，對(duì)我們理解許多科學(xué)領(lǐng)域中的對(duì)稱性至關(guān)重要。

群倫與對(duì)稱

　　求解三次方程還帶來了另一個(gè)重要結(jié)果，那就是它讓人們意識(shí)到了理解復(fù)數(shù)的重要性。我們可以通過研究求解不同的數(shù)學(xué)問題來追溯數(shù)字的歷史。

　　求解類似x+2=3 這樣的方程，我們只需要自然數(shù)1,2,3……求解 3x=2 這樣的方程，我們就需要包含分?jǐn)?shù)在內(nèi)的有理數(shù)了。古希臘的數(shù)學(xué)家在研究二次方程時(shí)就意識(shí)到，求解這類方程需要“開平方”，因此還需要發(fā)明新的數(shù)字。

　　這時(shí)，數(shù)學(xué)的歷史開始發(fā)生有趣的轉(zhuǎn)變。那時(shí)，人們知道√2 的存在是有其幾何合理性的，比如它是單位正方形對(duì)角線的長度，但是他們很難將這些數(shù)字放入有理數(shù)系統(tǒng)中的“間隙”中。直到 19 世紀(jì)，數(shù)列的“極限”概念有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，才讓數(shù)學(xué)家們完全樂于使用實(shí)數(shù)。

　　不過，實(shí)數(shù)并無法滿足所有的三次方程求解，比如當(dāng)遇到x² = -3 這樣的情況時(shí)，就還需要新的數(shù)字，讓i²= -1。這便是我們熟悉的虛數(shù)概念。如果定義a、b為實(shí)數(shù)，那么a + bi就是一個(gè)復(fù)數(shù)。

　　還記得上文說到的卡達(dá)諾嗎？其實(shí)早在 16 世紀(jì)后期，他就與工程師邦貝利（Bombelli）一起用塔塔里亞的方法求解了三次方程和二次方程的復(fù)數(shù)解。

　　到了 19 世紀(jì)，高斯在《代數(shù)基本定理》中指出，所有多項(xiàng)式方程都可解，它們的解都可以表示為復(fù)數(shù)。這意味著，人們可以不必為了求解多項(xiàng)式方程而尋找新的數(shù)字了。

　　然而，這并不意味著數(shù)學(xué)家應(yīng)該停止發(fā)明新的數(shù)字系統(tǒng)。例如，漢密爾頓（Hamilton）在 19 世紀(jì)發(fā)展的四元數(shù)就是復(fù)數(shù)的一種擴(kuò)展，現(xiàn)在主要用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。

　　與復(fù)數(shù)有關(guān)的最重要早期發(fā)現(xiàn)或許是由歐拉（Euler）作出的，他證明了復(fù)數(shù)與三角函數(shù)密切相關(guān)。這種關(guān)聯(lián)讓數(shù)學(xué)變得格外神秘和迷人，它似乎預(yù)示著數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著無限的能量。他先是引入了所謂的歐拉數(shù)，也就是自然常數(shù)e，并將它定義為：

歐拉數(shù)（自然常數(shù)）

　　接著，歐拉便用一個(gè)恒等式，將e、i和三角函數(shù)聯(lián)系到了一起。

歐拉將自然常數(shù)、虛數(shù)和三角函數(shù)結(jié)合到了一起

　　研究三次方程的意義還不僅于此。研究三次方程和其他多項(xiàng)式方程的解的曲面，直接導(dǎo)致了代數(shù)幾何這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域的誕生。對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人應(yīng)該都知道，代數(shù)幾何不僅是一門重要的學(xué)科，而且它在計(jì)算機(jī)繪圖、圖像處理和圖像識(shí)別等領(lǐng)域都發(fā)揮著重要的作用，所有的這些技術(shù)都與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能有關(guān)。

　　除了這些應(yīng)用價(jià)值之外，代數(shù)幾何還有一個(gè)不得不提的重大意義：在求解費(fèi)馬大定理的過程中，代數(shù)幾何扮演者至關(guān)重要的角色。這個(gè)著名的問題是在 1637 年由費(fèi)馬（Fermat, 1601-1665）提出的。費(fèi)馬大定理說的是，當(dāng)n＞2 時(shí)，這個(gè)方程沒有正整數(shù)解。

費(fèi)馬大定理中所涉及到的方程

　　費(fèi)馬自己證明了n=4 的情況，并希望能獲得一個(gè)一般情況的證明。后來，歐拉證明了n=3 的情況。數(shù)百年來，在求解費(fèi)馬大定理的前進(jìn)道路上誕生了許多偉大的數(shù)學(xué)。

　　1995 年，數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）提出了最終的解決方案，為這個(gè)研究了 400 多年的數(shù)學(xué)問題畫上了完美的句號(hào)。

　　2.

　　在這 500 年不僅見證了代數(shù)的革命，也見證了我們對(duì)這個(gè)世界的運(yùn)作機(jī)制的理解革命。為了解決那些物理問題，直接導(dǎo)致了微積分的發(fā)明。而微積分帶來的不僅是令人難以置信的數(shù)學(xué)進(jìn)展，還有數(shù)不勝數(shù)的廣泛應(yīng)用?？梢哉f，沒有微積分，或許就沒有現(xiàn)代世界的一切科學(xué)與技術(shù)。

　　這場革命始于兩個(gè)事件。

　　第一個(gè)事件是在物理學(xué)家研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)掀起的運(yùn)動(dòng)學(xué)革命。

　　1543 年，哥白尼（Copernicus）發(fā)表著作《天體運(yùn)行論》，在這本書中，他顛覆性地提出當(dāng)時(shí)已知的 6 顆行星是繞著太陽公轉(zhuǎn)的。當(dāng)然，作為一個(gè)早期的日心說理論，它并不完美。

　　哥白尼的模型在 1610 年左右得到了“拯救”，那時(shí)，開普勒（Kepler）發(fā)表了著名的三大運(yùn)動(dòng)定律。開普勒不僅是一位天文學(xué)家，還是一位杰出的數(shù)學(xué)家，根據(jù)他的運(yùn)動(dòng)定律，我們得知了：

1. 所有行星都在以橢圓軌道繞著太陽運(yùn)動(dòng)，太陽在橢圓的其中一個(gè)焦點(diǎn)上；
2. 在相同的時(shí)間內(nèi)，行星所掃過的面積相等；
3. 行星的運(yùn)動(dòng)周期的平方正比于橢圓長半軸的立方。

開普勒運(yùn)動(dòng)定律

　　開普勒定律與觀測結(jié)果完全吻合，其預(yù)測也與伽利略（Galileo）用望遠(yuǎn)鏡所觀測到的一致，可以說，是開普勒定律讓日心說得到了廣泛的接受。

　　第二個(gè)事件是力學(xué)定律的發(fā)現(xiàn)。

　　伽利略是力學(xué)的先驅(qū)，他是第一個(gè)意識(shí)到物體在地球引力作用下會(huì)按照拋物線的路徑移動(dòng)，而且他還意識(shí)到所有慣性系都是等價(jià)的。1643 年，在伽利略去的一年后，牛頓（Newton）出生了。

　　在牛頓的巨著《原理》中，他闡明了力學(xué)三大定律，將力的作用與物體的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系了起來。在書中，牛頓還提出了萬有引力定律，即在兩個(gè)相距為r，質(zhì)量分別為M和m的物體之間，其引力作用為

牛頓的萬有引力定律

　　牛頓的力學(xué)原理讓他可以成功推導(dǎo)出開普勒的運(yùn)動(dòng)定律，為開普勒定律奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。按照希臘留下的傳統(tǒng)，牛頓用幾何學(xué)語言在《原理》中提出并證明了這些結(jié)果。然而最開始，他是用微積分的方法推導(dǎo)出來的。

　　微積分是一門研究事物如何變化的學(xué)科，它有兩個(gè)重要的概念，一個(gè)是導(dǎo)數(shù)，一個(gè)是積分。求導(dǎo)可以讓你知道一條曲線的斜率，而積分能讓你求得曲線下的面積。

微積分：微分（左）與積分（右）

　　不過，微積分并不是牛頓一個(gè)人創(chuàng)造的，它的許多基本概念都是基于像沃利斯（Wallis）、笛卡爾（Descartes）、費(fèi)馬、開普勒等數(shù)學(xué)家的想法。此外，幾乎在與牛頓相同的時(shí)候，萊布尼茨（Leibnitz）也提出微積分的關(guān)鍵思想。

　　萊布尼茨用代數(shù)形式表述了這一想法，并引入了用于計(jì)算的現(xiàn)代符號(hào)，與牛頓的幾何符號(hào)相比，萊布尼茨讓微積分的使用變得容易了很多，導(dǎo)致微積分在歐洲大陸的迅速發(fā)展，當(dāng)然也它導(dǎo)致了英國數(shù)學(xué)家和歐洲數(shù)學(xué)家之間的分裂。

　　在接下來微積分的發(fā)展中，歐拉成為了一個(gè)主要的領(lǐng)軍人物。他不僅創(chuàng)造了微積分理論中的許多基本結(jié)果，而且還為它們找到了重要的應(yīng)用。牛頓和萊布尼茨是通過觀察當(dāng)單個(gè)變量在變化時(shí)函數(shù)發(fā)生的變化而推導(dǎo)出了微積分。而歐拉將其擴(kuò)展到觀察一個(gè)函數(shù)在所有變量函數(shù)發(fā)生變化時(shí)，函數(shù)會(huì)如何變化，這一概念叫做變分法。

　　1788 年，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（Lagrange）將歐拉的想法進(jìn)一步拓展，并最終成為了現(xiàn)代物理學(xué)和工程學(xué)的核心。利用變分法，拉格朗日將得到了微分方程系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的解描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。最初，拉格朗日想用它們來研究力學(xué)問題，但同樣的方法也在描述基本粒子（包括希格斯玻色子）的標(biāo)準(zhǔn)模型中運(yùn)用。

　　另一個(gè)因這種方法受益的領(lǐng)域是流體力學(xué)，這也是由歐拉提出的。在現(xiàn)代日常生活中，我們每天都要用到歐拉方程來預(yù)測未來的天氣和氣候。

　　盡管牛頓、萊布尼茨和歐拉都很喜歡使用微積分，而且它幾乎有無窮的應(yīng)用，但人們對(duì)它的基本定義仍有一些擔(dān)憂。直到 19 世紀(jì)，在柯西（Cauchy）對(duì)極限與無窮大等問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之后，這些問題才真正得到解決。這遠(yuǎn)不止解決了微積分的一些技術(shù)性上的難題，還導(dǎo)致了數(shù)學(xué)中的分析領(lǐng)域的發(fā)展。

　　復(fù)分析就是其中一個(gè)重要的例子，它是對(duì)復(fù)變量函數(shù)性質(zhì)的系統(tǒng)研究。這門學(xué)科在數(shù)論、流體力學(xué)、傅里葉分析、信號(hào)處理、數(shù)值分析、圖形學(xué)以及數(shù)學(xué)、物理和工程的任何需要用到積分的領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用。

　　牛頓在 17 世紀(jì)發(fā)明了微分方程，到了 18 世紀(jì)，拉普拉斯（Laplace）進(jìn)一步地推動(dòng)了它的發(fā)展，之后，人們便認(rèn)為微分方程是描述現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)行方式的最佳方式了。以二階微分方程為例，這是些看起來簡單，卻難以精確求解的微分方程。盡管無法做到精確求解，但我們可以通過兩種方法來得到解析表達(dá)式。

　　首先就是用幾何方法求解，這種技術(shù)是在 19 世紀(jì)末由法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Poincare）首創(chuàng)的，它非常強(qiáng)大，導(dǎo)致了求解微分方程的動(dòng)力系統(tǒng)理論的產(chǎn)生，其中的一個(gè)重要結(jié)果就是現(xiàn)代混沌理論。

微分方程的幾何理論，直接導(dǎo)致了混沌理論的出現(xiàn)

　　第二種方法是要依靠強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)算法來求出近似解，這種方法能讓你控制想到達(dá)到的精度水平，具有很強(qiáng)的洞察力和預(yù)測能力。

　　3.

　　如果有人問這 500 年來哪個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域是最有用的，那么答案或許是線性代數(shù)，它是許多工程學(xué)、物理學(xué)、甚至商業(yè)等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)基石。沒有線性代數(shù)，我們就無法飛行，也無法預(yù)測經(jīng)濟(jì)、天氣，甚至無法經(jīng)營工廠、在線購物等。線性代數(shù)計(jì)算是全世界各地的計(jì)算機(jī)每天都要進(jìn)行的大部分計(jì)算，它是互聯(lián)網(wǎng)背后的動(dòng)力。只可惜，它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的魅力并不那么為公眾所知。

　　早在 16 世紀(jì)，線性代數(shù)就涉及到求解具有多個(gè)變量的方程問題。前文提到的三次方程和和二次方程都只涉及到一個(gè)變量x，如果我們有兩個(gè)變量x和y那又會(huì)怎么樣？舉個(gè)例子，爸爸比兒子大 32 歲，現(xiàn)在他們總共 86 歲，求他們現(xiàn)在各自多少歲。

　　這是一個(gè)我們可以輕易揭開的小學(xué)應(yīng)用題，最直接的方法是設(shè)兩個(gè)未知數(shù)：爸爸x歲，兒子y歲，從方程組 x - y = 32 和 x + y = 86 中算得答案。

　　雖然上面的方法可以輕松地解決這個(gè)問題，但它很難將其推廣應(yīng)用于解決包含更多未知數(shù)的問題。要做到這一點(diǎn)，我們就需要矩陣和線性代數(shù)了。這些問題背后的數(shù)學(xué)原理是于 19 世紀(jì)由凱利（Cayley）發(fā)展的，當(dāng)時(shí)他在考慮如何讓一組數(shù)字線性映射到另一組數(shù)字。我們?cè)僖陨厦娴哪挲g問題為例，假入我們?cè)O(shè) x - y=a, x + y = b，那么這就等于完成了從 (x，y) 到 (a,b) 的映射。凱利用矩陣方程的形式來表示這種映射。

用矩陣來表述方程求解問題

　　這里的A是一個(gè) 2x2 的矩陣，這種形式的矩陣方程在幾何中表示平面的變換。3x3 的矩陣則可以代表了在空間中的變換，這正是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用來執(zhí)行動(dòng)畫的矩陣方程。4x4 的矩陣則可以表示時(shí)空的變換，這便是狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

　　通過矩陣求逆，我們可以得到問題的解：

通過矩陣求逆來求解

　　A?¹是矩陣A的逆矩陣。同樣的方法甚至可以用于解決含有數(shù)十億個(gè)未知數(shù)的問題。這一過程也成為了現(xiàn)代科學(xué)與技術(shù)得以出現(xiàn)和發(fā)展的一個(gè)重大前提。時(shí)至今日，科學(xué)家與數(shù)學(xué)家仍在努力發(fā)展用于求解矩陣求逆的算法，以更高效地解決我們社會(huì)所面臨的諸多日常問題。

　　4.

　　數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)算法中的應(yīng)用或許能讓我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界中最直接地感受到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大。算法描述的是一個(gè)為給定問題給出解決方案的過程。

　　事實(shí)上，最早的算法是用來求解我們?cè)谝婚_始提到的多項(xiàng)式方程的。比如我們想求解二次方程x²= 2 的解，但不知道√2 的值，所以就需要開發(fā)一個(gè)算法來找到它。這種算法是由巴比倫人發(fā)明的，他們認(rèn)為比x更能更好地近似√2 的表達(dá)式是

　　比如你可以以x=1 開始，將數(shù)字代入之后所得到的數(shù)字再次代入這個(gè)式子中，不斷迭代，這樣就能得到一系列值

　　可以明顯看出，這些值在越來越接近√2 的值：1.41421356237309488...

　　牛頓推廣了這一概念，因此當(dāng)我們需要找到方程f(x) = 0，那么可以嘗試近似

　　當(dāng)不斷重復(fù)這個(gè)過程，x_n的值就會(huì)越來越接近真正的解。

　　大量在數(shù)學(xué)上的研究產(chǎn)生了許多強(qiáng)大的可用于解決其他問題的算法。但是如果沒有巴貝奇（Babbage）、拉夫萊斯（Lovelace）、圖靈（Turing）、馮·諾依曼（von Neumann）這些數(shù)學(xué)家大力推動(dòng)了計(jì)算機(jī)的發(fā)展，或許我們不會(huì)感受到這些算法的價(jià)值。例如用計(jì)算機(jī)來求解微分方程就是算法在發(fā)揮作用的一個(gè)例子。

　　事實(shí)上，整個(gè)現(xiàn)代電子工業(yè)，尤其與信號(hào)、音樂和視頻相關(guān)的部分，都嚴(yán)重依賴于快速傅里葉變換（FFT）算法。FFT 允許一個(gè)信號(hào)能分解成構(gòu)成了它的諧波，它具有無窮多的應(yīng)用?？梢哉f，這是一個(gè)由數(shù)學(xué)導(dǎo)致了整個(gè)行業(yè)的產(chǎn)生的經(jīng)典例子。

　　算法的另一個(gè)重要領(lǐng)域是要讓對(duì)未來的預(yù)測與當(dāng)前和過去的觀測一致。我們的手機(jī)、GPS 導(dǎo)航設(shè)備、飛機(jī)和火車控制系統(tǒng)等許多系統(tǒng)都嚴(yán)重依賴于這種算法。在這些應(yīng)用中，使用了大量貝葉斯定理的卡爾曼濾波器是其中的關(guān)鍵，當(dāng)有新的數(shù)據(jù)傳入時(shí)，它能系統(tǒng)地根據(jù)新的數(shù)據(jù)更新對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。如果沒有卡爾曼濾波，我們就不可能到達(dá)月球，也無法操控任何現(xiàn)代控制系統(tǒng)。

　　5.

　　我們正在見證數(shù)學(xué)領(lǐng)域變得越來越活躍，它似乎蘊(yùn)含了巨大的能量，這股能量導(dǎo)致一些重大難題得到了解決，比如費(fèi)馬大定理和龐加萊猜想，同時(shí)也提出的許多新的和具有挑戰(zhàn)性的問題。另外，數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)的融合讓數(shù)學(xué)家可以處理更加復(fù)雜的問題，并且在研究極度困難的問題時(shí)也能具有實(shí)驗(yàn)性和創(chuàng)造性。除此之外，數(shù)學(xué)的應(yīng)用幾乎在呈指數(shù)級(jí)增長。

　　曾經(jīng)，人們還是傾向于認(rèn)為數(shù)學(xué)領(lǐng)域只是非常純粹和理論的，現(xiàn)在我們卻發(fā)現(xiàn)了它無窮的應(yīng)用潛力。在未來的幾年里，這張應(yīng)用列表中的內(nèi)容會(huì)以更快的速度增長，我們似乎已經(jīng)可以預(yù)見一個(gè)令人激動(dòng)的數(shù)學(xué)未來。

　　所以我們現(xiàn)在正處在數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代嗎？我想是的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学500年的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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