SkipList 跳跃表
http://blog.csdn.net/likun_tech/article/details/7354306
http://www.cnblogs.com/zhuangli/articles/1275665.html
http://www.cnblogs.com/xuqiang/archive/2011/05/22/2053516.html
為什么選擇跳表
目前經(jīng)常使用的平衡數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有：B樹，紅黑樹，AVL樹，Splay Tree, Treep等。
想象一下，給你一張草稿紙，一只筆，一個編輯器，你能立即實現(xiàn)一顆紅黑樹，或者AVL樹
出來嗎？ 很難吧，這需要時間，要考慮很多細節(jié)，要參考一堆算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之類的樹，
還要參考網(wǎng)上的代碼，相當(dāng)麻煩。
用跳表吧，跳表是一種隨機化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，目前開源軟件 Redis 和 LevelDB 都有用到它，
它的效率和紅黑樹以及 AVL 樹不相上下，但跳表的原理相當(dāng)簡單，只要你能熟練操作鏈表，
就能輕松實現(xiàn)一個 SkipList。
有序表的搜索
考慮一個有序表：
從該有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比較的次數(shù)分別為 < 2, 4, 6 >，總共比較的次數(shù)
為 2 + 4 + 6 = 12 次。有沒有優(yōu)化的算法嗎? ?鏈表是有序的，但不能使用二分查找。類似二叉
搜索樹，我們把一些節(jié)點提取出來，作為索引。得到如下結(jié)構(gòu)：
這里我們把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出來作為一級索引，這樣搜索的時候就可以減少比較次數(shù)了。
我們還可以再從一級索引提取一些元素出來，作為二級索引，變成如下結(jié)構(gòu)：
?這里元素不多，體現(xiàn)不出優(yōu)勢，如果元素足夠多，這種索引結(jié)構(gòu)就能體現(xiàn)出優(yōu)勢來了。
跳表
下面的結(jié)構(gòu)是就是跳表：
其中 -1 表示 INT_MIN， 鏈表的最小值，1 表示 INT_MAX，鏈表的最大值。
跳表具有如下性質(zhì)：
(1) 由很多層結(jié)構(gòu)組成
(2) 每一層都是一個有序的鏈表
(3) 最底層(Level 1)的鏈表包含所有元素
(4) 如果一個元素出現(xiàn)在 Level i 的鏈表中，則它在 Level i 之下的鏈表也都會出現(xiàn)。
(5) 每個節(jié)點包含兩個指針，一個指向同一鏈表中的下一個元素，一個指向下面一層的元素。
跳表的搜索
例子：查找元素 117
(1) 比較 21， 比 21 大，往后面找
(2) 比較 37, ? 比 37大，比鏈表最大值小，從 37 的下面一層開始找
(3) 比較 71, ?比 71 大，比鏈表最大值小，從 71 的下面一層開始找
(4) 比較 85， 比 85 大，從后面找
(5) 比較 117， 等于 117， 找到了節(jié)點。
具體的搜索算法如下：
跳表的插入
先確定該元素要占據(jù)的層數(shù) K（采用丟硬幣的方式，這完全是隨機的）
然后在 Level 1 ... Level K 各個層的鏈表都插入元素。
例子：插入 119， K = 2
如果 K 大于鏈表的層數(shù)，則要添加新的層。
例子：插入 119， K = 4
丟硬幣決定 K
插入元素的時候，元素所占有的層數(shù)完全是隨機的，通過一下隨機算法產(chǎn)生：
相當(dāng)與做一次丟硬幣的實驗，如果遇到正面，繼續(xù)丟，遇到反面，則停止，
用實驗中丟硬幣的次數(shù) K 作為元素占有的層數(shù)。顯然隨機變量 K 滿足參數(shù)為 p = 1/2 的幾何分布，
K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是說，各個元素的層數(shù)，期望值是 2 層。
跳表的高度。
n 個元素的跳表，每個元素插入的時候都要做一次實驗，用來決定元素占據(jù)的層數(shù) K，
跳表的高度等于這 n 次實驗中產(chǎn)生的最大 K，待續(xù)。。。
跳表的空間復(fù)雜度分析
根據(jù)上面的分析，每個元素的期望高度為 2， 一個大小為 n 的跳表，其節(jié)點數(shù)目的
期望值是 2n。
跳表的刪除
在各個層中找到包含 x 的節(jié)點，使用標準的 delete from list 方法刪除該節(jié)點。
例子：刪除 71
http://www.cxphp.com/?p=234(Redis中c語言的實現(xiàn))
http://imtinx.iteye.com/blog/1291165
http://kenby.iteye.com/blog/1187303
http://bbs.bccn.net/thread-228556-1-1.html
http://blog.csdn.net/xuqianghit/article/details/6948554（leveldb源碼）
二叉樹是我們都非常熟悉的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它支持包括查找、插入、刪除等一系列的操作。但它有一個致命的弱點，就是當(dāng)數(shù)據(jù)的隨機性不夠時，會導(dǎo)致其樹型結(jié)構(gòu)的不平衡，從而直接影響到算法的效率。
跳躍表（Skip List）是1987年才誕生的一種嶄新的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在進行查找、插入、刪除等操作時的期望時間復(fù)雜度均為O(logn),有著近乎替代平衡樹的本領(lǐng)。而且最重要的一點，就是它的編程復(fù)雜度較同類的AVL樹，紅黑樹等要低得多，這使得其無論是在理解還是在推廣性上，都有著十分明顯的優(yōu)勢。
跳躍表由多條鏈構(gòu)成（S0，S1，S2 ……，Sh），且滿足如下三個條件：
（1）每條鏈必須包含兩個特殊元素：+∞ 和 -∞
（2）S0包含所有的元素，并且所有鏈中的元素按照升序排列。
（3）每條鏈中的元素集合必須包含于序數(shù)較小的鏈的元素集合，即：
【基本操作】
在對跳躍表有一個初步的認識以后，我們來看一下基于它的幾個最基本的操作。
一、查找
目的：在跳躍表中查找一個元素x
在跳躍表中查找一個元素x，按照如下幾個步驟進行：
i)從最上層的鏈（Sh）的開頭開始
ii)假設(shè)當(dāng)前位置為p，它向右指向的節(jié)點為q（p與q不一定相鄰），且q的值為y。將y與x作比較
(1) x=y ? ? 輸出查詢成功及相關(guān)信息
(2) x>y ? ? 從p向右移動到q的位置
(3) x<y ? ? 從p向下移動一格
iii) ? ?如果當(dāng)前位置在最底層的鏈中（S0），且還要往下移動的話，則輸出查詢失敗
二、插入
目的：向跳躍表中插入一個元素x
首先明確，向跳躍表中插入一個元素，相當(dāng)于在表中插入一列從S0中某一位置出發(fā)向上的連續(xù)一段元素。有兩個參數(shù)需要確定，即插入列的位置以及它的“高度”。
關(guān)于插入的位置，我們先利用跳躍表的查找功能，找到比x小的最大的數(shù)y。根據(jù)跳躍表中所有鏈均是遞增序列的原則，x必然就插在y的后面。
而插入列的“高度”較前者來說顯得更加重要，也更加難以確定。由于它的不確定性，使得不同的決策可能會導(dǎo)致截然不同的算法效率。為了使插入數(shù)據(jù)之后，保持該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進行各種操作均為O(logn)復(fù)雜度的性質(zhì)，我們引入隨機化算法（Randomized Algorithms）。
我們定義一個隨機決策模塊，它的大致內(nèi)容如下：
·產(chǎn)生一個0到1的隨機數(shù)r ? ? ? ? ? ? ? ? ? r ← random()
·如果r小于一個常數(shù)p，則執(zhí)行方案A， ? ? ? if ?r<p then do A
否則，執(zhí)行方案B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? else do B
初始時列高為1。插入元素時，不停地執(zhí)行隨機決策模塊。如果要求執(zhí)行的是A操作，則將列的高度加1，并且繼續(xù)反復(fù)執(zhí)行隨機決策模塊。直到第i次，模塊要求執(zhí)行的是B操作，我們結(jié)束決策，并向跳躍表中插入一個高度為i的列。
性質(zhì)1： ? ?根據(jù)上述決策方法，該列的高度大于等于k的概率為pk-1。
此處有一個地方需要注意，如果得到的i比當(dāng)前跳躍表的高度h還要大的話，則需要增加新的鏈，使得跳躍表仍滿足先前所提到的條件。
我們來看一個例子：
假設(shè)當(dāng)前我們要插入元素“40”，且在執(zhí)行了隨機決策模塊后得到高度為4
·步驟一：找到表中比40小的最大的數(shù)，確定插入位置
·步驟二：插入高度為4的列，并維護跳躍表的結(jié)構(gòu)
三、刪除
目的：從跳躍表中刪除一個元素x
刪除操作分為以下三個步驟：
（1）在跳躍表中查找到這個元素的位置，如果未找到，則退出 ? ? *
（2）將該元素所在整列從表中刪除 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*
（3）將多余的“空鏈”刪除 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*
所謂“記憶化”查找，就是在前一次查找的基礎(chǔ)上進行進一步的查找。它可以利用前一次查找所得到的信息，取其中可以被當(dāng)前查找所利用的部分。利用“記憶化”查找可以將一次查找的復(fù)雜度變?yōu)镺(logk)，其中k為此次與前一次兩個被查找元素在跳躍表中位置的距離。
下面來看一下記憶化搜索的具體實現(xiàn)方法：
假設(shè)上一次操作我們查詢的元素為i，此次操作我們欲查詢的元素為j。我們用一個update數(shù)組來記錄在查找i時，指針在每一層所“跳”到的最右邊的位置。如圖4.1中橘×××的元素。（藍色為路徑上的其它元素）
在插入元素j時，分為兩種情況：
（1）i<=j
從S0層開始向上遍歷update數(shù)組中的元素，直到找到某個元素，它向右指向的元素大于等于j，并于此處開始新一輪對j的查找（與一般的查找過程相同）
（2）i>j
從S0層開始向上遍歷update數(shù)組中的元素，直到找到某個元素小于等于j，并于此處開始新一輪對j的查找（與一般的查找過程相同）
圖4.2十分詳細地說明了在查找了i=37之后，繼續(xù)查找j=15或53時的兩種不同情況。
【復(fù)雜度分析】
一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的好壞大部分取決于它自身的空間復(fù)雜度以及基于它一系列操作的時間復(fù)雜度。跳躍表之所以被譽為幾乎能夠代替平衡樹，其復(fù)雜度方面自然不會落后。我們來看一下跳躍表的相關(guān)復(fù)雜度：
空間復(fù)雜度： O(n) ? ? ? ? ? （期望）
跳躍表高度： O(logn) ? ? ? ?（期望）
相關(guān)操作的時間復(fù)雜度：
查找： O(logn) ? ? ? ?（期望）
插入： ?O(logn) ? ? ? ?（期望）
刪除： O(logn) ? ? ? ?（期望）
之所以在每一項后面都加一個“期望”，是因為跳躍表的復(fù)雜度分析是基于概率論的。有可能會產(chǎn)生最壞情況，不過這種概率極其微小。
下面我們來一項一項分析。
一、 空間復(fù)雜度分析 O(n)
假設(shè)一共有n個元素。根據(jù)性質(zhì)1，每個元素插入到第i層（Si）的概率為pi-1 ，則在第i層插入的期望元素個數(shù)為npi-1，跳躍表的元素期望個數(shù)為 ，當(dāng)p取小于0.5的數(shù)時，次數(shù)總和小于2n。
所以總的空間復(fù)雜度為O(n)
二、跳躍表高度分析 O(logn)
根據(jù)性質(zhì)1，每個元素插入到第i層（Si）的概率為pi ，則在第i層插入的期望元素個數(shù)為npi-1。
考慮一個特殊的層：第1+ 層。
層的元素期望個數(shù)為 ?= 1/n2，當(dāng)n取較大數(shù)時，這個式子的值接近0，故跳躍表的高度為O(logn)級別的。
三、查找的時間復(fù)雜度分析 O(logn)
我們采用逆向分析的方法。假設(shè)我們現(xiàn)在在目標節(jié)點，想要走到跳躍表最左上方的開始節(jié)點。這條路徑的長度，即可理解為查找的時間復(fù)雜度。
設(shè)當(dāng)前在第i層第j列那個節(jié)點上。
i)如果第j列恰好只有i層（對應(yīng)插入這個元素時第i次調(diào)用隨機化模塊時所產(chǎn)生的B決策，概率為1-p），則當(dāng)前這個位置必然是從左方的某個節(jié)點向右跳過來的。
ii)如果第j列的層數(shù)大于i（對應(yīng)插入這個元素時第i次調(diào)用隨機化模塊時所產(chǎn)生的A決策，概率為p），則當(dāng)前這個位置必然是從上方跳下來的。（不可能從左方來，否則在以前就已經(jīng)跳到當(dāng)前節(jié)點上方的節(jié)點了，不會跳到當(dāng)前節(jié)點左方的節(jié)點）
設(shè)C(k)為向上跳k層的期望步數(shù)（包括橫向跳躍）
有：
C(0) = 0
C(k) = (1-p)(1+向左跳躍之后的步數(shù))+p(1+向上跳躍之后的步數(shù))
? ? = (1-p)(1+C(k)) + p(1+C(k-1))
C(k) = 1/p + C(k-1)
C(k) = k/p
而跳躍表的高度又是logn級別的，故查找的復(fù)雜度也為logn級別。
對于記憶化查找（Search with fingers）技術(shù)我們可以采用類似的方法分析，很容易得出它的復(fù)雜度是O(logk)的（其中k為此次與前一次兩個被查找元素在跳躍表中位置的距離）。
四、插入與刪除的時間復(fù)雜度分析 O(logn)
插入和刪除都由查找和更新兩部分構(gòu)成。查找的時間復(fù)雜度為O(logn)，更新部分的復(fù)雜度又與跳躍表的高度成正比，即也為O(logn)。
所以，插入和刪除操作的時間復(fù)雜度都為O(logn)
五、實際測試效果
（1）不同的p對算法復(fù)雜度的影響
P | 平均操作時間 | 平均列高 | 總結(jié)點數(shù) | 每次查找跳躍次數(shù) （平均值） | 每次插入跳躍次數(shù) （平均值） | 每次刪除跳躍次數(shù) （平均值） |
2/3 | 0.0024690 ms | 3.004 | 91233 | 39.878 | 41.604 | 41.566 |
1/2 | 0.0020180 ms | 1.995 | 60683 | 27.807 | 29.947 | 29.072 |
1/e | 0.0019870 ms | 1.584 | 47570 | 27.332 | 28.238 | 28.452 |
1/4 | 0.0021720 ms | 1.330 | 40478 | 28.726 | 29.472 | 29.664 |
1/8 | 0.0026880 ms | 1.144 | 34420 | 35.147 | 35.821 | 36.007 |
表1 ? 進行106次隨機操作后的統(tǒng)計結(jié)果
從表1中可見，當(dāng)p取1/2和1/e的時候，時間效率比較高（為什么？）。而如果在實際應(yīng)用中空間要求很嚴格的話，那就可以考慮取稍小一些的p，如1/4。
（2）運用“記憶化”查找 (Search with fingers) 的效果分析
所謂“記憶化”查找，就是在前一次查找的基礎(chǔ)上進行進一步的查找。它可以利用前一次查找所得到的信息，取其中可以被當(dāng)前查找所利用的部分。利用“記憶化”查找可以將一次查找的復(fù)雜度變?yōu)镺(logk)，其中k為此次與前一次兩個被查找元素在跳躍表中位置的距離。
P | 數(shù)據(jù)類型 | 平均操作時間（不運用記憶化查找） | 平均操作時間（運用記憶化查找） | 平均每次查找跳躍次數(shù)（不運用記憶化查找） | 平均每次查找跳躍次數(shù)（運用記憶化查找） |
0.5 | 隨機（相鄰被查找元素鍵值差的絕對值較大） | 0.0020150 ms | 0.0020790 ms | 23.262 | 26.509 |
0.5 | 前后具備相關(guān)性（相鄰被查找元素鍵值差的絕對值較小） | 0.0008440 ms | 0.0006880 ms | 26.157 | 4.932 |
表1 ? 進行106次相關(guān)操作后的統(tǒng)計結(jié)果
從表2中可見，當(dāng)數(shù)據(jù)相鄰被查找元素鍵值差絕對值較小的時候，我們運用“記憶化”查找的優(yōu)勢是很明顯的，不過當(dāng)數(shù)據(jù)隨機化程度比較高的時候，“記憶化”查找不但不能提高效率，反而會因為跳躍次數(shù)過多而成為算法的瓶頸。
合理地利用此項優(yōu)化，可以在特定的情況下將算法效率提升一個層次。
【跳躍表的應(yīng)用】
高效率的相關(guān)操作和較低的編程復(fù)雜度使得跳躍表在實際應(yīng)用中的范圍十分廣泛。尤其在那些編程時間特別緊張的情況下，高性價比的跳躍表很可能會成為你的得力助手。
能運用到跳躍表的地方很多，與其去翻陳年老題，不如來個趁熱打鐵，拿NOI2004第一試的第一題——郁悶的出納員(Cashier)來“小試牛刀”吧。
例題一：NOI2004 Day1 郁悶的出納員(Cashier)
[點擊查看附錄中的原題]
這道題解法的多樣性給了我們一次對比的機會。用不同的算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在效率上會有怎樣的差異呢？
首先定義幾個變量
? ?R – 工資的范圍
? ?N – 員工總數(shù)
我們來看一下每一種適用的算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的簡要描述和理論復(fù)雜度：
（1）線段樹
簡要描述：以工資為關(guān)鍵字構(gòu)造線段樹，并完成相關(guān)操作。
I命令時間復(fù)雜度：O(logR)
A命令時間復(fù)雜度：O(1)
S命令時間復(fù)雜度：O(logR)
F命令時間復(fù)雜度：O(logR)
（2）伸展樹(Splay tree)
簡要描述：以工資為關(guān)鍵字構(gòu)造伸展樹，并通過“旋轉(zhuǎn)”完成相關(guān)操作。
I命令時間復(fù)雜度：O(logN)
A命令時間復(fù)雜度：O(1)
S命令時間復(fù)雜度：O(logN)
F命令時間復(fù)雜度：O(logN)
（3）跳躍表(Skip List)
簡要描述：運用跳躍表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)完成相關(guān)操作。
I命令時間復(fù)雜度：O(logN)
A命令時間復(fù)雜度：O(1)
S命令時間復(fù)雜度：O(logN)
F命令時間復(fù)雜度：O(logN)
實際效果評測： （單位：秒）
Test1 | Test2 | Test3 | Test4 | Test5 | Test6 | Test7 | Test8 | Test9 | Test10 | |
線段樹 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.031 | 0.062 | 0.094 | 0.109 | 0.203 | 0.265 | 0.250 |
伸展樹 | 0.000 | 0.000 | 0.016 | 0.062 | 0.047 | 0.125 | 0.141 | 0.360 | 0.453 | 0.422 |
跳躍表 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.047 | 0.062 | 0.109 | 0.156 | 0.368 | 0.438 | 0.375 |
從結(jié)果來看，線段樹這種經(jīng)典的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)似乎占據(jù)著很大的優(yōu)勢。可有一點萬萬不能忽略，那就是線段樹是基于鍵值構(gòu)造的，它受到鍵值范圍的約束。在本題中R的范圍只有105級別，這在內(nèi)存較寬裕的情況下還是可以接受的。但是如果問題要求的鍵值范圍較大，或者根本就不是整數(shù)時，線段樹可就很難適應(yīng)了。這時候我們就不得不考慮伸展樹、跳躍表這類基于元素構(gòu)造的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。而從實際測試結(jié)果看，跳躍表的效率并不比伸展樹差。加上編程復(fù)雜度上的優(yōu)勢，跳躍表盡顯出其簡單高效的特點。
轉(zhuǎn)載于:https://blog.51cto.com/8701404/1386866
《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的SkipList 跳跃表的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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