并查集(Union-Find)算法介绍
本文主要介紹解決動(dòng)態(tài)連通性一類問(wèn)題的一種算法，使用到了一種叫做并查集的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，稱為Union-Find。
更多的信息可以參考Algorithms?一書(shū)的Section 1.5，實(shí)際上本文也就是基于它的一篇讀后感吧。
原文中更多的是給出一些結(jié)論，我嘗試給出一些思路上的過(guò)程，即為什么要使用這個(gè)方法，而不是別的什么方法。我覺(jué)得這個(gè)可能更加有意義一些，相比于記下一些結(jié)論。
?
關(guān)于動(dòng)態(tài)連通性
我們看一張圖來(lái)了解一下什么是動(dòng)態(tài)連通性：
?
假設(shè)我們輸入了一組整數(shù)對(duì)，即上圖中的(4, 3) (3, 8)等等，每對(duì)整數(shù)代表這兩個(gè)points/sites是連通的。那么隨著數(shù)據(jù)的不斷輸入，整個(gè)圖的連通性也會(huì)發(fā)生變化，從上圖中可以很清晰的發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)。同時(shí)，對(duì)于已經(jīng)處于連通狀態(tài)的points/sites，直接忽略，比如上圖中的(8, 9)。
?
動(dòng)態(tài)連通性的應(yīng)用場(chǎng)景：
- 網(wǎng)絡(luò)連接判斷：
如果每個(gè)pair中的兩個(gè)整數(shù)分別代表一個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，那么該pair就是用來(lái)表示這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是需要連通的。那么為所有的pairs建立了動(dòng)態(tài)連通圖后，就能夠盡可能少的減少布線的需要，因?yàn)橐呀?jīng)連通的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)被直接忽略掉。
- 變量名等同性(類似于指針的概念)：
在程序中，可以聲明多個(gè)引用來(lái)指向同一對(duì)象，這個(gè)時(shí)候就可以通過(guò)為程序中聲明的引用和實(shí)際對(duì)象建立動(dòng)態(tài)連通圖來(lái)判斷哪些引用實(shí)際上是指向同一對(duì)象。
?
對(duì)問(wèn)題建模：
在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模的時(shí)候，我們應(yīng)該盡量想清楚需要解決的問(wèn)題是什么。因?yàn)槟Ｐ椭羞x擇的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法顯然會(huì)根據(jù)問(wèn)題的不同而不同，就動(dòng)態(tài)連通性這個(gè)場(chǎng)景而言，我們需要解決的問(wèn)題可能是：
- 給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，判斷它們是否連通，如果連通，不需要給出具體的路徑
- 給出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，判斷它們是否連通，如果連通，需要給出具體的路徑
?
就上面兩種問(wèn)題而言，雖然只有是否能夠給出具體路徑的區(qū)別，但是這個(gè)區(qū)別導(dǎo)致了選擇算法的不同，本文主要介紹的是第一種情況，即不需要給出具體路徑的Union-Find算法，而第二種情況可以使用基于DFS的算法。
?
建模思路：
最簡(jiǎn)單而直觀的假設(shè)是，對(duì)于連通的所有節(jié)點(diǎn)，我們可以認(rèn)為它們屬于一個(gè)組，因此不連通的節(jié)點(diǎn)必然就屬于不同的組。隨著Pair的輸入，我們需要首先判斷輸入的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否連通。如何判斷呢？按照上面的假設(shè)，我們可以通過(guò)判斷它們屬于的組，然后看看這兩個(gè)組是否相同，如果相同，那么這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)連通，反之不連通。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們將所有的節(jié)點(diǎn)以整數(shù)表示，即對(duì)N個(gè)節(jié)點(diǎn)使用0到N-1的整數(shù)表示。而在處理輸入的Pair之前，每個(gè)節(jié)點(diǎn)必然都是孤立的，即他們分屬于不同的組，可以使用數(shù)組來(lái)表示這一層關(guān)系，數(shù)組的index是節(jié)點(diǎn)的整數(shù)表示，而相應(yīng)的值就是該節(jié)點(diǎn)的組號(hào)了。該數(shù)組可以初始化為：
[java] view plaincopy print?
即對(duì)于節(jié)點(diǎn)i，它的組號(hào)也是i。
?
初始化完畢之后，對(duì)該動(dòng)態(tài)連通圖有幾種可能的操作：
- 查詢節(jié)點(diǎn)屬于的組
數(shù)組對(duì)應(yīng)位置的值即為組號(hào)
- 判斷兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否屬于同一個(gè)組
分別得到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的組號(hào)，然后判斷組號(hào)是否相等
- 連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，使之屬于同一個(gè)組
分別得到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的組號(hào)，組號(hào)相同時(shí)操作結(jié)束，不同時(shí)，將其中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)的組號(hào)換成另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的組號(hào)
- 獲取組的數(shù)目
初始化為節(jié)點(diǎn)的數(shù)目，然后每次成功連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之后，遞減1
API
我們可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的API：
?
注意其中使用整數(shù)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)，如果需要使用其他的數(shù)據(jù)類型表示節(jié)點(diǎn)，比如使用字符串，那么可以用哈希表來(lái)進(jìn)行映射，即將String映射成這里需要的Integer類型。
?
分析以上的API，方法connected和union都依賴于find，connected對(duì)兩個(gè)參數(shù)調(diào)用兩次find方法，而union在真正執(zhí)行union之前也需要判斷是否連通，這又是兩次調(diào)用find方法。因此我們需要把find方法的實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的盡可能的高效。所以就有了下面的Quick-Find實(shí)現(xiàn)。
?
Quick-Find?算法：
[java] view plaincopy print?舉個(gè)例子，比如輸入的Pair是(5，?9)，那么首先通過(guò)find方法發(fā)現(xiàn)它們的組號(hào)并不相同，然后在union的時(shí)候通過(guò)一次遍歷，將組號(hào)1都改成8。當(dāng)然，由8改成1也是可以的，保證操作時(shí)都使用一種規(guī)則就行。
?
上述代碼的find方法十分高效，因?yàn)閮H僅需要一次數(shù)組讀取操作就能夠找到該節(jié)點(diǎn)的組號(hào)，但是問(wèn)題隨之而來(lái)，對(duì)于需要添加新路徑的情況，就涉及到對(duì)于組號(hào)的修改，因?yàn)椴⒉荒艽_定哪些節(jié)點(diǎn)的組號(hào)需要被修改，因此就必須對(duì)整個(gè)數(shù)組進(jìn)行遍歷，找到需要修改的節(jié)點(diǎn)，逐一修改，這一下每次添加新路徑帶來(lái)的復(fù)雜度就是線性關(guān)系了，如果要添加的新路徑的數(shù)量是M，節(jié)點(diǎn)數(shù)量是N，那么最后的時(shí)間復(fù)雜度就是MN，顯然是一個(gè)平方階的復(fù)雜度，對(duì)于大規(guī)模的數(shù)據(jù)而言，平方階的算法是存在問(wèn)題的，這種情況下，每次添加新路徑就是“牽一發(fā)而動(dòng)全身”，想要解決這個(gè)問(wèn)題，關(guān)鍵就是要提高union方法的效率，讓它不再需要遍歷整個(gè)數(shù)組。
?
Quick-Union?算法：
考慮一下，為什么以上的解法會(huì)造成“牽一發(fā)而動(dòng)全身”？因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)所屬的組號(hào)都是單獨(dú)記錄，各自為政的，沒(méi)有將它們以更好的方式組織起來(lái)，當(dāng)涉及到修改的時(shí)候，除了逐一通知、修改，別無(wú)他法。所以現(xiàn)在的問(wèn)題就變成了，如何將節(jié)點(diǎn)以更好的方式組織起來(lái)，組織的方式有很多種，但是最直觀的還是將組號(hào)相同的節(jié)點(diǎn)組織在一起，想想所學(xué)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，什么樣子的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)能夠?qū)⒁恍┕?jié)點(diǎn)給組織起來(lái)？常見(jiàn)的就是鏈表，圖，樹(shù)，什么的了。但是哪種結(jié)構(gòu)對(duì)于查找和修改的效率最高？毫無(wú)疑問(wèn)是樹(shù)，因此考慮如何將節(jié)點(diǎn)和組的關(guān)系以樹(shù)的形式表現(xiàn)出來(lái)。
?
如果不改變底層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即不改變使用數(shù)組的表示方法的話。可以采用parent-link的方式將節(jié)點(diǎn)組織起來(lái)，舉例而言，id[p]的值就是p節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)的序號(hào)，如果p是樹(shù)根的話，id[p]的值就是p，因此最后經(jīng)過(guò)若干次查找，一個(gè)節(jié)點(diǎn)總是能夠找到它的根節(jié)點(diǎn)，即滿足id[root] = root的節(jié)點(diǎn)也就是組的根節(jié)點(diǎn)了，然后就可以使用根節(jié)點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示組號(hào)。所以在處理一個(gè)pair的時(shí)候，將首先找到pair中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的組號(hào)(即它們所在樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)的序號(hào))，如果屬于不同的組的話，就將其中一個(gè)根節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)設(shè)置為另外一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于將一顆獨(dú)立的樹(shù)編程另一顆獨(dú)立的樹(shù)的子樹(shù)。直觀的過(guò)程如下圖所示。但是這個(gè)時(shí)候又引入了問(wèn)題。
?
在實(shí)現(xiàn)上，和之前的Quick-Find只有find和union兩個(gè)方法有所不同：
[java] view plaincopy print??
樹(shù)這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)極端情況，因?yàn)樵诮?shù)的過(guò)程中，樹(shù)的最終形態(tài)嚴(yán)重依賴于輸入數(shù)據(jù)本身的性質(zhì)，比如數(shù)據(jù)是否排序，是否隨機(jī)分布等等。比如在輸入數(shù)據(jù)是有序的情況下，構(gòu)造的BST會(huì)退化成一個(gè)鏈表。在我們這個(gè)問(wèn)題中，也是會(huì)出現(xiàn)的極端情況的，如下圖所示。
?
為了克服這個(gè)問(wèn)題，BST可以演變成為紅黑樹(shù)或者AVL樹(shù)等等。
?
然而，在我們考慮的這個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景中，每對(duì)節(jié)點(diǎn)之間是不具備可比性的。因此需要想其它的辦法。在沒(méi)有什么思路的時(shí)候，多看看相應(yīng)的代碼可能會(huì)有一些啟發(fā)，考慮一下Quick-Union算法中的union方法實(shí)現(xiàn)：
[java] view plaincopy print?
上面 id[pRoot] = qRoot 這行代碼看上去似乎不太對(duì)勁。因?yàn)檫@也屬于一種“硬編碼”，這樣實(shí)現(xiàn)是基于一個(gè)約定，即p所在的樹(shù)總是會(huì)被作為q所在樹(shù)的子樹(shù)，從而實(shí)現(xiàn)兩顆獨(dú)立的樹(shù)的融合。那么這樣的約定是不是總是合理的呢？顯然不是，比如p所在的樹(shù)的規(guī)模比q所在的樹(shù)的規(guī)模大的多時(shí)，p和q結(jié)合之后形成的樹(shù)就是十分不和諧的一頭輕一頭重的”畸形樹(shù)“了。
?
所以我們應(yīng)該考慮樹(shù)的大小，然后再來(lái)決定到底是調(diào)用：
id[pRoot] = qRoot?或者是?id[qRoot] = pRoot
?
即總是size小的樹(shù)作為子樹(shù)和size大的樹(shù)進(jìn)行合并。這樣就能夠盡量的保持整棵樹(shù)的平衡。
?
所以現(xiàn)在的問(wèn)題就變成了：樹(shù)的大小該如何確定？
我們回到最初的情形，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)最一開(kāi)始都是屬于一個(gè)獨(dú)立的組，通過(guò)下面的代碼進(jìn)行初始化：
[java] view plaincopy print?
?
以此類推，在初始情況下，每個(gè)組的大小都是1，因?yàn)橹缓幸粋€(gè)節(jié)點(diǎn)，所以我們可以使用額外的一個(gè)數(shù)組來(lái)維護(hù)每個(gè)組的大小，對(duì)該數(shù)組的初始化也很直觀：
[java] view plaincopy print?
而在進(jìn)行合并的時(shí)候，會(huì)首先判斷待合并的兩棵樹(shù)的大小，然后按照上面圖中的思想進(jìn)行合并，實(shí)現(xiàn)代碼：
?
[java] view plaincopy print?
Quick-Union?和?Weighted Quick-Union?的比較：
?
可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)sz數(shù)組決定如何對(duì)兩棵樹(shù)進(jìn)行合并之后，最后得到的樹(shù)的高度大幅度減小了。這是十分有意義的，因?yàn)樵?span style="font-family:Calibri;" lang="en-us">Quick-Union算法中的任何操作，都不可避免的需要調(diào)用find方法，而該方法的執(zhí)行效率依賴于樹(shù)的高度。樹(shù)的高度減小了，find方法的效率就增加了，從而也就增加了整個(gè)Quick-Union算法的效率。
?
上圖其實(shí)還可以給我們一些啟示，即對(duì)于Quick-Union算法而言，節(jié)點(diǎn)組織的理想情況應(yīng)該是一顆十分扁平的樹(shù)，所有的孩子節(jié)點(diǎn)應(yīng)該都在height為1的地方，即所有的孩子都直接連接到根節(jié)點(diǎn)。這樣的組織結(jié)構(gòu)能夠保證find操作的最高效率。
?
那么如何構(gòu)造這種理想結(jié)構(gòu)呢？
在find方法的執(zhí)行過(guò)程中，不是需要進(jìn)行一個(gè)while循環(huán)找到根節(jié)點(diǎn)嘛？如果保存所有路過(guò)的中間節(jié)點(diǎn)到一個(gè)數(shù)組中，然后在while循環(huán)結(jié)束之后，將這些中間節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)指向根節(jié)點(diǎn)，不就行了么？但是這個(gè)方法也有問(wèn)題，因?yàn)?span style="font-family:Calibri;" lang="en-us">find操作的頻繁性，會(huì)造成頻繁生成中間節(jié)點(diǎn)數(shù)組，相應(yīng)的分配銷(xiāo)毀的時(shí)間自然就上升了。那么有沒(méi)有更好的方法呢？還是有的，即將節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)指向該節(jié)點(diǎn)的爺爺節(jié)點(diǎn)，這一點(diǎn)很巧妙，十分方便且有效，相當(dāng)于在尋找根節(jié)點(diǎn)的同時(shí)，對(duì)路徑進(jìn)行了壓縮，使整個(gè)樹(shù)結(jié)構(gòu)扁平化。相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)如下，實(shí)際上只需要添加一行代碼：
[java] view plaincopy print?
至此，動(dòng)態(tài)連通性相關(guān)的Union-Find算法基本上就介紹完了，從容易想到的Quick-Find到相對(duì)復(fù)雜但是更加高效的Quick-Union，然后到對(duì)Quick-Union的幾項(xiàng)改進(jìn)，讓我們的算法的效率不斷的提高。
這幾種算法的時(shí)間復(fù)雜度如下所示：
| Algorithm | Constructor | Union | Find |
| Quick-Find | N | N | 1 |
| Quick-Union | N | Tree height | Tree height |
| Weighted Quick-Union | N | lgN | lgN |
| Weighted Quick-Union With Path Compression | N | Very near to 1 (amortized) | Very near to 1 (amortized) |
?
對(duì)大規(guī)模數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使用平方階的算法是不合適的，比如簡(jiǎn)單直觀的Quick-Find算法，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的更多特點(diǎn)，找到合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，然后有針對(duì)性的進(jìn)行改進(jìn)，得到了Quick-Union算法及其多種改進(jìn)算法，最終使得算法的復(fù)雜度降低到了近乎線性復(fù)雜度。
?
如果需要的功能不僅僅是檢測(cè)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是否連通，還需要在連通時(shí)得到具體的路徑，那么就需要用到別的算法了，比如DFS或者BFS。
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的并查集(Union-Find)算法介绍的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
- 上一篇： 上架过程中遇到的问题
- 下一篇： Fragment.setArgument