0. 前置知識

0.1. 費馬小定理

由此可以推出模意義下乘法逆元：

0.2. 威爾遜定理

0.3. 線性篩

1. 擴展歐幾里得算法

1.1. 簡介

擴展歐幾里得算法用于求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一組特解（整數解）。

推導如下：

設 \(\begin{cases}ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)\end{cases}\)

由歐幾里得算法可知 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\)。

聯立有：

可得：

最后在求 \(\gcd\) 的過程中求解 \(x,y\) 即可。

1.2. 常見技巧

1.2.1. 二元一次不定方程通解

對于 \(ax+by=c\) 這種一元二次不定方程，由裴蜀定理可知，當 \(\gcd(a,b)\nmid c\) 時，此方程無整數解。

當有整數解時，我們將其轉化為 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的形式，然后用擴展歐幾里得算法求解。

我們設擴展歐幾里得算法求出的解為 \(X,Y\)，\(ax+by=c\) 方程所求的一組特解為 \(x',y'\)，有：

因為 \(ax'\) 與 \(by'\) 的和恒為 \(c\)，有：

其中，我們要保證 \(x'+db,y'-da\) 均為整數，取得最小變化量：

最后得出通解形式：

接下來是關于正整數解的內容。

限制 \(x,y>0\)，解得：

至此，我們可以判斷正整數解個數。當 \(s\) 取極值時，我們也可求出 \(x,y\) 的極值。

1.3. 例題

咕咕咕

2. 歐拉函數（施工中）

2.1. 基本定義與性質

約定：

以下討論均基于正整數域。

歐拉函數 \(\varphi(n)\) 表示 \([1,n]\) 范圍內與 \(n\) 互質的數的個數。

有定義式： \(\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[\gcd(n,i)=1]\) 。

有計算式：設 \(n\) 被唯一分解為 \(\prod\limits_{i=1}^mp_i^{c_i}\)（\(p_i\) 為質數），\(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{p_i}^m\left(1-\dfrac1{p_i}\right)\)。

證明：

先假設 \(m=2\)，可以寫出式子并因式分解： \(\varphi(n)=n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}+\frac{n}{p_1p_2}=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\)。

進一步地，可將式子推廣為\(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{p_i}^m\left(1-\dfrac1{p_i}\right)\)。

int phi(int x) {

    int res = x;

    for (int i = 2; i * i <= x; i++)

        if (x % i == 0) {

            while (x % i == 0)

                x /= i;

            res = res / i * (i - 1);

        }

    return res / x * max(1, x - 1);

}

性質 \(1\)（積性）：若 \(a\perp b\)，則 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\times\varphi(b)\)。

\(a\perp b\) 即 \(\gcd(a,b)=1\)，表示 \(a,b\) 互質。

積性函數：當 \(a\perp b\) 時，有 \(f(ab)=f(a)\times f(b)\)，則稱函數 \(f(x)\) 為積性函數。

完全積性函數：任意條件下有 \(f(ab)=f(a)\times f(b)\)，則稱函數 \(f(x)\) 為完全積性函數。

證明：

設 \(a=\prod\limits_{i=1}^{m_a}p_i^{c_i},b=\prod\limits_{i=1}^{m_b}q_i^{c_i}\)，因為 \(a\perp b\)，有 \(p_i\not=q_j\)，故 \(ab=\prod\limits_{i=1}^{m_a}p_i^{c_i}\times\prod\limits_{i=1}^{m_b}q_i^{c_i}\)，由計算式得出：

性質 \(2\)：對于質數 \(p\)，有 \(\varphi(p)=p-1,\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)。

證明：

對于 \(\varphi(p)=p-1\)，由質數定義易知。

對于 \(\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)，考慮所有不是 \(p\) 的倍數的數都與 \(p^k\) 互質，有 \(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^{k-1}\)。

性質 \(3\)：若 \(a\mid b\)，則 \(\varphi(ab)=a\times\varphi(b)\)。

證明：

將兩者拆分，代入 \(\varphi(ab),\varphi(b)\) 計算式，對比結果可得此性質。

換一種理解方式，\(ab\) 相對 \(b\) 并沒有增加質因子，所以與 \(b\) 互質的數仍然與 \(b\) 互質，整個過程看做將值域擴展到 \([1,ab]\)，其中與 \(b\) 互質個數顯著為 \(a\varphi(b)\)，因為與 \(b\) 互質的數加上 \(kb(k\in\Z)\) 后仍然與 \(b\) 互質。

性質 \(4\)：若 \(p\) 為質數且 \(p\mid n\)，則有：

性質 \(5\)：\(\forall n>1\)，\([1,n]\) 中與 \(n\) 互質的數字和為 \(\frac{n\times\varphi(n)}{2}\)。

證明：

有 \(\gcd(n,x)=gcd(n,n-x)\)，所以 \([1,n]\) 中與 \(n\) 互質的數成對出現，并且平均值為 \(n/2\)，可得出此結論。

性質 \(6\)：若 \(a\mid b\)，則 \(\varphi(a)\mid\varphi(b)\)。

證明：

由計算式得到，是顯著的。

2.2. 歐拉定理

總結

以上是生活随笔為你收集整理的「Note」数论方向 - 数论基础的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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