主方法

在算法分析中，我們主要使用代入法，遞歸樹法，和主方法來分析遞歸式
而主方法為如下形式的遞歸式提供了一套“菜譜”式解法：

$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$

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幾個主要形式：

1.

若對某個常數 $\epsilon >0$ 有

$f(n)=o(n^{{\log }_{b}a?\epsilon })$

那么
$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$

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2.

若
$f(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a})$
則
$T(n)=\theta (n^{lo{g}_{b}a}\lg n)$

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3.

若對某個常數 $\epsilon >0$有
$f(n)=\Omega (n^{{\log }_{b}a+\epsilon })$

且對于某個常數c<1和所有足夠大的n有
$af(\frac{n}{b})\le cf(n)$

則
$T(n)=\theta (f(n))$

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將函數$f(n)$與函數$n^{lo{g}_{b}a}$進行比較。直覺上，兩個函數較大者決定了遞歸式的解。

證明：

這個要死記硬背那可太難了，還是證明一下怎么來的比較好

$T(N)=aT(\frac{N}{b})+\theta (N^k)$

$a表示一個問題分解成子問題的數目，N/b表示每個子問題的規模$

$不妨設N=b^m，即大問題是子問題規模的m次冪，且T(1)=1$

$于是原式有：T(b^m)=aT(b^{m?1})+(b^k{)}^m$

$左右同除a^m：\frac{T(b^m)}{a^m}=\frac{T(b^{m?1})}{a^{m?1}}+(\frac{b^k}{a}{)}^m$

$于是我們的到了一個等差數列，初項設m=0，T(1)/1=1$

$求和之后得到：\frac{T(b^m)}{a^m}=\sum _{i=0}^m(\frac{b^k}{a}{)}^i$
$即為：T(N)=a^m\sum _{i=0}^m(\frac{b^k}{a}{)}^i$

$1.當a>b^k即k=lo{g}_{b}a?\epsilon 即f(n)=\theta (N^k)=o(n^{{\log }_{b}a?\epsilon })$
$此時級數的和為一個小于無窮大的常數，于是T(N)=\mathrm{O}(a^m)=\mathrm{O}(a^{lo{g}_{b}N})=\mathrm{O}(N^{lo{g}_{b}a})$

$2.當a=b^k即k=lo{g}_{b}a即f(n)=\theta (N^k)=\theta (N^{{\log }_{b}a})$
$此時級數的和為m，于是T(N)=(m+1)a^m=\mathrm{O}(N^{{\log }_{b}a}lo{g}_{b}N)$

$3.當a<b^k即k=lo{g}_{b}a+\epsilon 即f(n)=\theta (N^k)=\Omega (n^{{\log }_{b}a?\epsilon })$
$此時級數的和為\frac{(b^k/a{)}^m?1}{b^k/a?1}，于是T(N)=a^m\frac{(b^k/a{)}^m?1}{b^k/a?1}=\mathrm{O}(N^k)$

例如：矩陣相乘的Strassen算法：
$T(N)=7T(N/2)+O(N^2)$
$有T(N)=O(N^{lo{g}_{2}7})=O(N^{2.81})$
很方便很炫酷有沒有！！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的算法分析之-主方法分析递归式的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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