一個n連桿的機器人的動力學方程含有很多項，特別是全部是轉動關節的機械臂，讓人看著害怕。但是，機器人動力學方程含有一些有助于開發控制算法的重要性質，其中最重要的是反對稱性、無源性、有界性和參數的線性性。

反對稱性（skew aymmetry）和無源性(passivity)

• 在動力學方程中，矩陣N=D˙?2C 是反對稱性的，即 nij=?nji
  由于存在多個矩陣C, 這里C存特定值：
  

  cijk=12(?bij?qk+?bik?qj??bjk?qi)
  ∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(?bij?qk?12?bjk?qi)q˙(k)q˙(j)

  由于 D˙(q) 的第 (k,j) 個元素 d˙kj=∑ni=1?dkj?qiq˙i

  矩陣N=D˙?2C 的第 (k,j)個元素可以表示為：
  

  nkj=d˙kj?2ckj=∑i=1n[?dij?qk??dki?qj]
  可以看出：
  nij=?nji
  因此，矩陣 N 是反對稱矩陣。對任意向量 ω , 有 ωTN(q，q˙)ω=0
  • 無源性
    機器人的總動能：H=12q˙TD(q)q˙+P(q)，求導，得：
    H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T?P?q
    忽略摩擦和末端受力，帶入動力學方程，可得，
    H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
    在公式兩邊同時對時間積分，得：
    q˙T(t)τ(t)dt=H(T)?H(0)≥?H(0)

  慣性矩陣的界限(bounded)

  對 n 連桿機器人，他的慣性矩陣是正定且對稱的，對廣義關節變量 q， 令0<λ1(q)≠?≠λn(q) 表示D(q) 的 n 個特征值。
  顯然易得：
  λ1(q)In?n≤D(q)≤λn(q)In?n
  如果所有的關節都是轉動關節，那么慣性矩陣都是關于關節變量的正弦和余弦函數，因此對應的廣義坐標是有界的。如果慣性矩陣具有一致的界限，可以找到常數 λm 和 λM，滿足：
  

  λ1(q)In?n≤D(q)≤λn(q)In?n<∝

  參數的線性化(linearity-in-the-parameter)

  存在 n?? 函數 Y(q,q˙,q¨)，以及 ? 維向量 Θ，使得歐拉方程可以寫成：

  D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ
  函數 Y(q,q˙,q¨)被稱為回歸方程（regeessor）, 向量 Θ 為參數向量。

  對每一個剛體，可以通過 總質量、慣性張量、質心來表示，總十個獨立的參數，因此，對于一個n連桿機器人來說，最多有10n個參數，因為多關節機器人各連桿通過耦合連接在一起，實際的參數少于10n
  事實上，尋找這樣的方程是比較困難的。

  總結

  以上是生活随笔為你收集整理的机器人动力学方程的性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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