貝塞爾曲線

空間貝塞爾曲線(Spatial B′ ezier Curves)

當(dāng)貝塞爾曲線的控制點(diǎn)為三維坐標(biāo)時(shí)，即可得到空間貝塞爾曲線。

空間空間貝塞爾曲線任然滿足性質(zhì)：

• 端點(diǎn)插值性質(zhì)：
• 端點(diǎn)切線定理：
• 凸包性質(zhì)
• 仿射變換不變性
• 變差縮減性質(zhì)

微分

1、n 階貝塞爾曲線的控制函數(shù) Bi,n(t) 的一階和二階微分滿足：

---

B′i,n(t)=(i?nt)t(1?t)Bi,n(t)

B′′i,n(t)=(i(i?1)?2i(n?1)t+n(n?1)t2t2(1?t)2)Bi,n(t)

B′i,n(t)=n(Bi?1,n?1(t)?Bi,n?1(t))

---

2、n 階貝塞爾曲線的的一階微分是：

B′(t)=∑i=0n?1b(1)iBi,n?1(t)

其中：b(1)i=n(bi+1?bi)

3、n 階貝塞爾曲線的的r階微分是：

B(r)(t)=∑i=0n?rb(r)iBi,n?r(t)

其中：b(r)i=(n?r+1)∑rj=1(?1)r?jrjbi+j

表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換

任意多項(xiàng)式曲線都可以表示成貝塞爾曲線的形式

多項(xiàng)式表達(dá)：

a0+a1t+?+antn

貝塞爾曲線的形式：

∑i=0nbin!(n?i)!i!(1?t)n?iti=p0+p1t+?+pntn

兩式相等，即可解出多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的貝塞爾曲線的控制點(diǎn)的坐標(biāo)。

分段貝塞爾曲線

任意間隔貝塞爾曲線

控制點(diǎn)為 bo,?,bn 的任意時(shí)間間隔 [tmin,tmax] 的貝塞爾曲線定義為：

B(t)=∑i=0nbiBi,n(t?tmintmax?tmin)

其中：
Bi,n為n階貝塞爾曲線的基本控制函數(shù)
B(t)=∑ni=0biBi,nt∈[0,1] 稱為貝塞爾曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式

分段貝塞爾曲線

令 I=[a,b] P(t) 為分段貝塞爾曲線

?
如果存在 t0<t1<?<tr?1<tr 滿足 a=t0,b=tr ;任意間隔貝塞爾曲線 Bj(t)t∈[tj,tj+1](j=0,1,?,r?1) 滿足

(1) P(t)=Bj(t),t∈(tj,tj+1),

(2) P(tj)=Bj?1(tj)或/和P(tj)=Bj(tj)(j=0,1,?,r?1),

(3) P(t0)=B0(t0)且P(tr)=Br?1(tr)。

tj 稱為斷點(diǎn)。若 Bj(t)的最高階數(shù)為n，則稱分段貝塞爾曲線的階數(shù)為n。

若分段貝塞爾曲線的兩段在連接處的k階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，稱其為幾何連續(xù)。

有理貝塞爾曲線（Rational B′ezier Curves）

控制點(diǎn)為 bo,?,bn 的n階有理貝塞爾曲線定義為：

B(t)=∑ni=0ωibiBi,n(t)∑ni=0ωiBi,n(t),t∈[0.1]

ωi 不全為零，若 ωi=0，可直接約去，

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的贝塞尔曲线(Bezier Curves)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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