學(xué)習(xí)最小生成樹(shù)算法之前我們先來(lái)了解下 下面這些概念：

樹(shù)（Tree）：如果一個(gè)無(wú)向連通圖中不存在回路，則這種圖稱為樹(shù)。

生成樹(shù) （Spanning Tree）：無(wú)向連通圖G的一個(gè)子圖如果是一顆包含G的所有頂點(diǎn)的樹(shù)，則該子圖稱為G的生成樹(shù)。

生成樹(shù)是連通圖的極小連通子圖。這里所謂極小是指：若在樹(shù)中任意增加一條邊，則將出現(xiàn)一條回路；若去掉一條邊，將會(huì)使之變成非連通圖。

最小生成樹(shù)（Minimum Spanning Tree，MST）：或者稱為最小代價(jià)樹(shù)Minimum-cost Spanning Tree:對(duì)無(wú)向連通圖的生成樹(shù)，各邊的權(quán)值總和稱為生成樹(shù)的權(quán)，權(quán)最小的生成樹(shù)稱為最小生成樹(shù)。

構(gòu)成生成樹(shù)的準(zhǔn)則有三條：

<1> 必須只使用該網(wǎng)絡(luò)中的邊來(lái)構(gòu)造最小生成樹(shù)。

<2> 必須使用且僅使用n-1條邊來(lái)連接網(wǎng)絡(luò)中的n個(gè)頂點(diǎn)

<3> 不能使用產(chǎn)生回路的邊。

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構(gòu)造最小生成樹(shù)的算法主要有：克魯斯卡爾（Kruskal）算法和普利姆（Prim）算法他們都遵循以上準(zhǔn)則。

接下分別討論一下這兩種算法以及判定最小生成樹(shù)是否唯一的方法。

克魯斯卡爾算法

克魯斯卡爾算法的基本思想是以邊為主導(dǎo)地位，始終選擇當(dāng)前可用（所選的邊不能構(gòu)成回路）的最小權(quán)植邊。所以Kruskal算法的第一步是給所有的邊按照從小到大的順序排序。這一步可以直接使用庫(kù)函數(shù)qsort或者sort。接下來(lái)從小到大依次考察每一條邊（u，v）。

具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

<1>　設(shè)一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的連通網(wǎng)絡(luò)為G（V,E），最初先構(gòu)造一個(gè)只有n個(gè)頂點(diǎn)，沒(méi)有邊的非連通圖T={V,空}，圖中每個(gè)頂點(diǎn)自成一格連通分量。

<2>　在Ｅ中選擇一條具有最小權(quán)植的邊時(shí)，若該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)落在不同的連通分量上，則將此邊加入到Ｔ中；否則，即這條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)落到同一連通分量 ? ? ?上，則將此邊舍去（此后永不選用這條邊），重新選擇一條權(quán)植最小的邊。

<3>　如此重復(fù)下去，直到所有頂點(diǎn)在同一連通分量上為止。

下面是偽代碼：

1 // 把所有邊排序，記第i小的邊為e[i] (1<=i<=m)m為邊的個(gè)數(shù) 2 // 初始化MST為空 3 // 初始化連通分量，使每個(gè)點(diǎn)各自成為一個(gè)獨(dú)立的連通分量 4 5 for (int i = 0; i < m; i++) 6 { 7 if (e[i].u和e[i].v不在同一連通分量) 8 { 9 // 把邊e[i]加入ＭＳＴ 10 // 合并e[i].u和e[i].v所在的連通分量 11 } 12 }

上面的偽代碼，最關(guān)鍵的地方在于“連通分量的查詢和合并”，需要知道任意兩個(gè)點(diǎn)是否在同一連通分量中，還需要合并兩個(gè)連通分量。

這個(gè)問(wèn)題正好可以用并查集完美的解決（不得不佩服前輩們聰明才智啊！）

并查集（Union-Find set）這個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以方便快速的解決這個(gè)問(wèn)題。基本的處理思想是：初始時(shí)把每個(gè)對(duì)象看作是一個(gè)單元素集合；然后依次按順序讀入聯(lián)通邊，將連通邊中的兩個(gè)元素合并。在此過(guò)程中將重復(fù)使用一個(gè)搜索（Find）運(yùn)算，確定一個(gè)集合在那個(gè)集合中。當(dāng)讀入一個(gè)連通邊（ｕ，ｖ）時(shí)，先判斷ｕ和ｖ是否在同一個(gè)集合中，如果是則不用合并；如果不是，則用一個(gè)合并（Union）運(yùn)算把ｕ、ｖ所在集合合并，使得這兩個(gè)集合中的任意兩個(gè)元素都連通。因此并查集在處理時(shí)，主要用到搜索和合并兩個(gè)運(yùn)算。

為了方便并查集的描述與實(shí)現(xiàn)，通常把先后加入到一個(gè)集合中的元素表示成一個(gè)樹(shù)結(jié)構(gòu)，并用根結(jié)點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示這個(gè)集合。因此定義一個(gè)parent[n]的數(shù)組，parent[i]中存放的就是結(jié)點(diǎn)ｉ所在的樹(shù)中結(jié)點(diǎn)ｉ的父親節(jié)點(diǎn)的序號(hào)。例如，如果parent[4]=5，就是說(shuō)４號(hào)結(jié)點(diǎn)的父親結(jié)點(diǎn)是５號(hào)結(jié)點(diǎn)。約定：如果ｉ的父結(jié)點(diǎn)（即parent[i]）是負(fù)數(shù)，則表示結(jié)點(diǎn)ｉ就是它所在的集合的根結(jié)點(diǎn)，因?yàn)榧现袥](méi)有結(jié)點(diǎn)的序號(hào)是負(fù)的；并且用負(fù)數(shù)的絕對(duì)值作為這個(gè)集合中所含結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。例如，如果parent[7]=-4，說(shuō)明７號(hào)結(jié)點(diǎn)就是它所在集合的根結(jié)點(diǎn)，這個(gè)集合有四個(gè)元素。初始時(shí)結(jié)點(diǎn)的parent值為－１（每個(gè)結(jié)點(diǎn)都是根結(jié)點(diǎn)，只包含它自己一個(gè)元素）。

實(shí)現(xiàn)Kruskal算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)主要有3個(gè)函數(shù)。

1 void UFset() // 初始化 2 { 3 for (int i = 0; i < n; i ++) 4 parent[i] = -1; 5 } 6 int Find(int x) // 查找并返回結(jié)點(diǎn)x所屬集合的根結(jié)點(diǎn) 7 { 8 int s; // 查找位置 9 for (s = x; parent[s]>=0; s = parent[s]); // 注意這里的 ; 10 while (s != x) // 優(yōu)化方案 -- 壓縮路徑，使后續(xù)的查找 11 { 12 int tmp = parent[x]; 13 parent[x] = s; 14 x = tmp; 15 } 16 return s; 17 } 18 // R1和R2是兩個(gè)元素，屬于兩個(gè)不同的集合，現(xiàn)在合并這兩個(gè)集合 19 void Union (int R1, int R2) 20 { 21 // r1位R1的根結(jié)點(diǎn)，r2位R2的根結(jié)點(diǎn) 22 int r1 = Find(R1), r2 = Find(R2); 23 int tmp = parent[r1] + parent[r2]; // 兩個(gè)集合的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)之和（負(fù)數(shù)） 24 // 如果R2所在樹(shù)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) > R1所在樹(shù)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 25 // 注意parent[r1]和parent[r2]都是負(fù)數(shù) 26 if(parent[r1] > parent[r2]) // 優(yōu)化方案 -- 加權(quán)法則 27 { 28 parent[r1] = r2; // 將根結(jié)點(diǎn)r1所在的樹(shù)作為r2的子樹(shù)（合并） 29 parent[r2] = tmp; // 跟新根結(jié)點(diǎn)r2的parent[]值 30 } 31 else 32 { 33 parent[r2] = r1; // 將根結(jié)點(diǎn)r2所在的樹(shù)作為r1的子樹(shù)（合并） 34 parent[r1] = tmp; // 跟新根結(jié)點(diǎn)r1的parent[]值 35 } 36 }

接下來(lái)對(duì) Find 函數(shù)和 Union 函數(shù)的實(shí)現(xiàn)過(guò)程作詳細(xì)解釋。

Find 函數(shù)：在 Find 函數(shù)中如果僅僅靠一個(gè)循環(huán)來(lái)直接得到結(jié)點(diǎn)所屬集合的根結(jié)點(diǎn)的話，通過(guò)多次的 Union 操作就會(huì)有很多結(jié)點(diǎn)在樹(shù)的比較深層次中，再查找起來(lái)就會(huì)很費(fèi)時(shí)。可以通過(guò)壓縮路徑來(lái)加快后續(xù)的查找速度：增加一個(gè) While 循環(huán)，每次都把從結(jié)點(diǎn) x 到集合根結(jié)點(diǎn)的路徑上經(jīng)過(guò)的結(jié)點(diǎn)直接設(shè)置為根結(jié)點(diǎn)的子女結(jié)點(diǎn)。雖然這增加了時(shí)間，但以后的查找會(huì)更快。如圖 3.4 所示，假設(shè)從結(jié)點(diǎn) x = 6 開(kāi)始?jí)嚎s路徑，則從結(jié)點(diǎn) 6 到根結(jié)點(diǎn)1 的路徑上有 3 個(gè)結(jié)點(diǎn)：6、10、8，壓縮后，這 3 個(gè)結(jié)點(diǎn)都直接成為根結(jié)點(diǎn)的子女結(jié)點(diǎn)，如圖(b)所示。

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并查集：Find函數(shù)中的路徑壓縮

Union 函數(shù)：兩個(gè)集合并時(shí)，任一方可做為另一方的子孫。怎樣來(lái)處理呢，現(xiàn)在一般采用加權(quán)合并，把兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)少的根結(jié)點(diǎn)做為元素個(gè)數(shù)多的根結(jié)點(diǎn)的子女結(jié)點(diǎn)。這樣處理有什么優(yōu)勢(shì)呢？直觀上看，可以減少樹(shù)中的深層元素的個(gè)數(shù)，減少后續(xù)查找時(shí)間。

例如，假設(shè)從 1 開(kāi)始到 n，不斷合并第 i 個(gè)結(jié)點(diǎn)與第 i+1 個(gè)結(jié)點(diǎn)，采用加權(quán)合并思路的過(guò)程如下圖所示（各子樹(shù)根結(jié)點(diǎn)上方的數(shù)字為其 parent[ ]值）。這樣查找任一結(jié)點(diǎn)所屬集合的時(shí)間復(fù)雜度幾乎都是 O(1)！！！

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并查集：加權(quán)合并

不用加權(quán)規(guī)則可能會(huì)得到下圖所示的結(jié)果。這就是典型的退化樹(shù)（只有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)，且每個(gè)非葉結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)子結(jié)點(diǎn)）現(xiàn)象，再查找起來(lái)就會(huì)很費(fèi)時(shí)，例如查找結(jié)點(diǎn) n 的根結(jié)點(diǎn)時(shí)復(fù)雜度為 O(n)。

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并查集：合并時(shí)不加權(quán)的結(jié)果。

例 利用 Kruskal 算法求無(wú)向網(wǎng)的最小生成樹(shù)，并輸出依次選擇的各條邊及最終求得的最小生成樹(shù)的權(quán)。

假設(shè)數(shù)據(jù)輸入時(shí)采用如下的格式進(jìn)行輸入：首先輸入頂點(diǎn)個(gè)數(shù) n 和邊數(shù) m，然后輸入 m 條邊的數(shù)據(jù)。每條邊的數(shù)據(jù)格式為：u v w，分別表示這條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)及邊上的權(quán)值。頂點(diǎn)序號(hào)從 1開(kāi)始計(jì)起。

分析：

在下面的代碼中，首先讀入邊的信息，存放到數(shù)組 edges[ ]中，并按權(quán)值從小到大進(jìn)行排序。

Kruskal( )函數(shù)用于實(shí)現(xiàn) ：首先初始化并查集，然后從 edges[ ]數(shù)組中依次選用每條邊，如果這條邊的兩個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)連通分量，則要棄用這條邊；否則合并這兩個(gè)頂點(diǎn)所在的連通分量。

代碼如下：

1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <algorithm> 4 #define MAXN 11 //頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值 5 #define MAXM 20 //邊的個(gè)數(shù)的最大值 6 using namespace std; 7 8 struct edge //邊 9 { 10 int u, v, w; //邊的頂點(diǎn)、權(quán)值 11 }edges[MAXM]; //邊的數(shù)組 12 13 int parent[MAXN]; //parent[i]為頂點(diǎn) i 所在集合對(duì)應(yīng)的樹(shù)中的根結(jié)點(diǎn) 14 int n, m; //頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、邊的個(gè)數(shù) 15 int i, j; //循環(huán)變量 16 void UFset( ) //初始化 17 { 18 for( i=1; i<=n; i++ ) 19 parent[i] = -1; 20 } 21 int Find( int x ) //查找并返回節(jié)點(diǎn) x 所屬集合的根結(jié)點(diǎn) 22 { 23 int s; //查找位置 24 for( s=x; parent[s]>=0; s=parent[s] ); 25 while( s!=x ) //優(yōu)化方案―壓縮路徑，使后續(xù)的查找操作加速。 26 { 27 int tmp = parent[x]; 28 parent[x] = s; 29 x = tmp; 30 } 31 return s; 32 } 33 34 //將兩個(gè)不同集合的元素進(jìn)行合并，使兩個(gè)集合中任兩個(gè)元素都連通 35 void Union( int R1, int R2 ) 36 { 37 int r1 = Find(R1), r2 = Find(R2); //r1 為 R1 的根結(jié)點(diǎn)，r2 為 R2 的根結(jié)點(diǎn) 38 int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //兩個(gè)集合結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)之和(負(fù)數(shù)) 39 //如果 R2 所在樹(shù)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) > R1 所在樹(shù)結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)(注意 parent[r1]是負(fù)數(shù)) 40 if( parent[r1] > parent[r2] ) //優(yōu)化方案――加權(quán)法則 41 { 42 parent[r1] = r2; 43 parent[r2] = tmp; 44 } 45 else 46 { 47 parent[r2] = r1; 48 parent[r1] = tmp; 49 } 50 } 51 bool cmp( edge a, edge b ) //實(shí)現(xiàn)從小到大排序的比較函數(shù) 52 { 53 return a.w <= b.w; 54 } 55 void Kruskal( ) 56 { 57 int sumweight = 0; //生成樹(shù)的權(quán)值 58 int num = 0; //已選用的邊的數(shù)目 59 int u, v; //選用邊的兩個(gè)頂點(diǎn) 60 UFset( ); //初始化 parent[]數(shù)組 61 for( i=0; i<m; i++ ) 62 { 63 u = edges[i].u; v = edges[i].v; 64 if( Find(u) != Find(v) ) 65 { 66 printf( "%d %d %d\n", u, v, edges[i].w ); 67 sumweight += edges[i].w; num++; 68 Union( u, v ); 69 } 70 if( num>=n-1 ) break; 71 } 72 printf( "weight of MST is %d\n", sumweight ); 73 } 74 int main( ) 75 { 76 int u, v, w; //邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)及權(quán)值 77 scanf( "%d%d", &n, &m ); //讀入頂點(diǎn)個(gè)數(shù) n 78 for( int i=0; i<m; i++ ) 79 { 80 scanf( "%d%d%d", &u, &v, &w ); //讀入邊的起點(diǎn)和終點(diǎn) 81 edges[i].u = u; edges[i].v = v; edges[i].w = w; 82 } 83 sort(edges,edges+m,cmp); 84 Kruskal(); 85 return 0; 86 } View Code

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最小生成树之克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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