題鏈：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4596

題解：

容斥，矩陣樹(shù)定理，矩陣行列式

先說(shuō)說(shuō)容斥：(一共有 N-1個(gè)公司)
令 f[i] 表示選出 (N-1)-i 個(gè)公司來(lái)修路(即有i個(gè)公司一定不修)，且不管每個(gè)公司只能修一條路這一限制的方案數(shù)。
那么 答案 ANS=0個(gè)公司不修的方案數(shù) - 1個(gè)公司不修的方案數(shù) +2個(gè)公司不修的翻案數(shù) ...
即 ANS= f[0] - f[1] +f[2] - ... + (-1)ⁱ*f[i]
f[i]的求法呢，就是先O(2^N)枚舉公司集合情況，
然后用矩陣樹(shù)定理 O(N³) 求出當(dāng)前情況下的生成樹(shù)方案數(shù)。
另外再本題中，在構(gòu)造上三角矩陣用以求行列式時(shí)，
既要避免小數(shù)，還要不影響原矩陣的行列式的值，
所以采用輾轉(zhuǎn)相除的高斯消元法去構(gòu)造上三角矩陣。復(fù)雜度多一個(gè)(logN)
由矩陣行列式的性質(zhì)可知，這樣輾轉(zhuǎn)相除的高斯消元法不會(huì)影響行列式的絕對(duì)值，
只會(huì)影響符號(hào)位的正負(fù)，所以統(tǒng)計(jì)一下正負(fù)號(hào)的變化就好了。
(還不會(huì)矩陣樹(shù)定理，看看這里，入門(mén)一波。)
所以總的時(shí)間復(fù)雜度為 O(2^N*N³*logN)。
(都是這個(gè)復(fù)雜度，不曉得為什么我的代碼跑到這么慢，都?jí)|底了......)

代碼：

#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #define add(x,y) (((1ll*(x)+(y))%mod+mod)%mod) #define mul(x,y) (((1ll*(x)*(y))%mod+mod)%mod) #define filein(x) freopen(#x".in","r",stdin) #define fileout(x) freopen(#x".out","w",stdout) using namespace std; const int mod=1000000007; struct Matrix{int Val[20][20],*X[20],R,C;void Init(int r,int c){//r==cR=r; C=c;memset(Val,0,sizeof(Val));for(int i=1;i<=R;i++) X[i]=Val[i];}void Modify(int r,int c,int v){X[r][c]=add(X[r][c],v);}void operator =(const Matrix &rtm){Init(rtm.R,rtm.C);for(int i=1;i<=R;i++)for(int j=1;j<=C;j++)Val[i][j]=rtm.X[i][j];}Matrix operator -(const Matrix & rtm) const{Matrix now; now=*this;for(int i=1;i<=R;i++)for(int j=1;j<=C;j++)now.X[i][j]=add(now.X[i][j],-rtm.X[i][j]);return now;}void Gauss_Euclidean(int p,int &ti){//形成上三角矩陣 if(p==R-1) return;if(!X[p][p]) for(int i=p+1;i<R;i++) if(X[i][p]){swap(X[i],X[p]); ti++; break;}if(!X[p][p]) return;for(int i=p+1;i<R;i++){while(X[i][p]){int t=X[p][p]/X[i][p];for(int j=p;j<R;j++)X[p][j]=add(X[p][j],-mul(X[i][j],t));swap(X[p],X[i]); ti++;}}Gauss_Euclidean(p+1,ti);}int Determinant(){int ti=0,ans=1;Gauss_Euclidean(1,ti);for(int i=1;i<R;i++) ans=mul(ans,X[i][i]);if(ti&1) ans=mul(ans,-1);return ans;}void print(){for(int i=1;(i!=1?printf("\n"):0),i<=R;i++)for(int j=1;j<=R;j++)printf("%d ",X[i][j]);} }A,B,K; int cpy[20][500]; int ANS,N,tmp; void dfs(int p,int num){if(p>=N) return;//選for(int i=1,a,b;i<=2*cpy[p][0];i+=2){a=cpy[p][i]; b=cpy[p][i+1];A.Modify(a,a,1); A.Modify(b,b,1);B.Modify(a,b,1); B.Modify(b,a,1);}K=A-B; tmp=K.Determinant();if(((N-1)-(num+1))&1) tmp=mul(tmp,-1);ANS=add(ANS,tmp);dfs(p+1,num+1);//不選for(int i=1,a,b;i<=2*cpy[p][0];i+=2){a=cpy[p][i]; b=cpy[p][i+1];A.Modify(a,a,-1); A.Modify(b,b,-1);B.Modify(a,b,-1); B.Modify(b,a,-1);}dfs(p+1,num); } int main() {scanf("%d",&N);A.Init(N,N); B.Init(N,N);for(int i=1;i<=N-1;i++){scanf("%d",&cpy[i][0]);for(int j=1;j<=2*cpy[i][0];j++)scanf("%d",&cpy[i][j]);}dfs(1,0);printf("%d",ANS);return 0; }

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總結(jié)

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