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經典引文

空間效率：O(n) 時間效率：O(log n)插入、查找、刪除 創造者：Daniel Sleator 和 Robert Tarjan
優點：每次查詢會調整樹的結構，使被查詢頻率高的條目更靠近樹根。

Tree Rotation

? 樹的旋轉是splay的基礎，對于二叉查找樹來說，樹的旋轉不破壞查找樹的結構。 ?

Splaying

? Splaying是Splay Tree中的基本操作，為了讓被查詢的條目更接近樹根，Splay Tree使用了樹的旋轉操作，同時保證二叉排序樹的性質不變。 Splaying的操作受以下三種因素影響：

• 節點x是父節點p的左孩子還是右孩子
• 節點p是不是根節點，如果不是
• 節點p是父節點g的左孩子還是右孩子

同時有三種基本操作： ?

Zig Step

當p為根節點時，進行zip step操作。 當x是p的左孩子時，對x右旋； 當x是p的右孩子時，對x左旋。 ?

Zig-Zig Step

當p不是根節點，且x和p同為左孩子或右孩子時進行Zig-Zig操作。 當x和p同為左孩子時，依次將p和x右旋； 當x和p同為右孩子時，依次將p和x左旋。 ? ?

Zig-Zag Step

當p不是根節點，且x和p不同為左孩子或右孩子時，進行Zig-Zag操作。 當p為左孩子，x為右孩子時，將x左旋后再右旋。 當p為右孩子，x為左孩子時，將x右旋后再左旋。 ? ?

應用

? Splay Tree可以方便的解決一些區間問題，根據不同形狀二叉樹中序遍歷結果不變的特性，可以將區間按順序建二叉查找樹。 每次自下而上的一套splay都可以將x移動到根節點的位置，利用這個特性，可以方便的利用Lazy的思想進行區間操作。 對于每個節點記錄size，代表子樹中節點的數目，這樣就可以很方便地查找區間中的第k小或第k大元素。 對于一段要處理的區間[x, y]，首先splay x-1到root，再splay y+1到root的右孩子，這時root的右孩子的左孩子對應子樹就是整個區間。 這樣，大部分區間問題都可以很方便的解決，操作同樣也適用于一個或多個條目的添加或刪除，和區間的移動。

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最后附上自己寫的洛谷的模板題的代碼：　

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#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+7; int n,m,root,tot; struct Node{int ch[2],size;int fa,mark,val;void add(int x,int y){ch[0]=ch[1]=mark=0;val=x;fa=y;size=1;} }t[N]; inline int read() {char ch=getchar();int num=0;bool flag=false;while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')flag=true;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){num=num*10+ch-'0';ch=getchar();}return flag?-num:num; } inline void pushup(int x) {int l=t[x].ch[0],r=t[x].ch[1];t[x].size=t[l].size+t[r].size+1; } inline void pushdown(int x) {if(t[x].mark){t[t[x].ch[0]].mark^=1;t[t[x].ch[1]].mark^=1;swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);t[x].mark=0;} } inline void rotate(int x) {int y=t[x].fa;int z=t[y].fa;int k=(t[y].ch[1]==x);t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].fa=z;t[t[x].ch[k^1]].fa=y;t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[x].ch[k^1]=y;t[y].fa=x;pushup(y);pushup(x); } inline void splay(int x,int tag) {while(t[x].fa!=tag){int y=t[x].fa;int z=t[y].fa;if(z!=tag)(t[y].ch[1]==x)^(t[z].ch[1]==y)?rotate(x):rotate(y);rotate(x);}if(tag==0)root=x; } inline void insert(int x) {int now=root,fa=0;while(now)fa=now,now=t[now].ch[x>t[now].val];now=++tot;if(fa)t[fa].ch[x>t[fa].val]=now;t[now].add(x,fa);splay(now,0); } inline int find(int x) {int now=root;while(555){pushdown(now);if(t[t[now].ch[0]].size>=x)now=t[now].ch[0];else if(t[t[now].ch[0]].size+1==x)return now;else x-=(t[t[now].ch[0]].size+1),now=t[now].ch[1];} } inline void work(int l,int r) {l=find(l);r=find(r+2);splay(l,0);splay(r,l);t[t[t[root].ch[1]].ch[0]].mark^=1; } inline void print(int x) {pushdown(x);if(t[x].ch[0])print(t[x].ch[0]);if(t[x].val>1&&t[x].val<n+2)printf("%d ",t[x].val-1);if(t[x].ch[1])print(t[x].ch[1]); } int main() {n=read();m=read();for(int i=1;i<=n+2;i++)insert(i);for(int i=1;i<=m;i++){int l=read();int r=read();work(l,r);}print(root);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷P3391文艺平衡树（Splay）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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