題目描述

　　設(shè)\(f(i)\)為\(i\)的不同的質(zhì)因子個(gè)數(shù)，求\(\sum_{i=1}^n2^{f(i)}\)

　　\(n\leq{10}^{12}\)

題解

　　考慮\(2^{f(i)}\)的意義：有\(f(i)\)總因子，每種可以分給兩個(gè)人中的一個(gè)。那么就有\(2^{f(i)}=\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}ozvdkddzhkzd)=1]\)

　　然后就是簡單莫比烏斯反演了。
\[ \begin{align} s&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}ozvdkddzhkzd)=1]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{j|d\text{&&}j|\frac{i}ozvdkddzhkzd}\mu(j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j^2|i}g(\frac{i}{j^2})\mu(j)\\ &=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}g(i)\\ &=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}\lfloor\frac{n}{j^2i}\rfloor \end{align} \]
　　時(shí)間復(fù)雜度：\(O(\sqrt n\log n)\)

代碼

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll p=998244353; ll gao(ll x) {ll s=0;ll i,j;for(i=1;i<=x;i=j+1){j=x/(x/i);s+=(x/i)*(j-i+1);}return s; } int b[1000010]; int pri[1000010]; int cnt; int miu[1000010]; int main() {ll i,j;miu[1]=1;for(i=2;i<=1000000;i++){if(!b[i]){pri[++cnt]=i;miu[i]=-1;}for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++){b[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){miu[i*pri[j]]=0;break;}miu[i*pri[j]]=-miu[i];}}ll ans=0;ll n;scanf("%lld",&n);for(i=1;i*i<=n;i++)ans=(ans+miu[i]*gao(n/(i*i)))%p;ans=(ans+p)%p;printf("%lld\n",ans);return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【XSY2719】prime 莫比乌斯反演的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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