Portal--> bzoj3105 新Nim游戲

Solution

　　轉(zhuǎn)化一下問(wèn)題

　　首先看一下原來(lái)的Nim游戲，先手必勝的條件是：每堆數(shù)量的異或和不為\(0\)

　　所以在新的游戲中，如果要保證自己（先手）有必勝策略的話，那必須要保證到一開始先手拿走若干堆之后，后手無(wú)法拿走若干堆使得剩下每堆的數(shù)量異或和為\(0\)，也就是說(shuō)我們要留下的應(yīng)該是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組

　　線性無(wú)關(guān)組這個(gè)的話我們可以通過(guò)線性基解決，具體的話就是如果\(insert\)完了之后這個(gè)數(shù)被變成了\(0\)，那么說(shuō)明這個(gè)數(shù)和線性基里面的數(shù)線性相關(guān)

　　容易注意到\(insert\)的順序會(huì)有影響，那么現(xiàn)在的問(wèn)題就是，應(yīng)該選取哪些數(shù)作為線性基（或者說(shuō)應(yīng)該按照什么順序把那堆數(shù)插到線性基里）

　　先把結(jié)論擺出來(lái)：實(shí)際上只要按照從大到小的順序貪心地加就好了

　　為什么可以貪心呢？

　　

　　這里需要借助一個(gè)很神奇的東西：Portal-->擬陣

　　

?　　我們?cè)O(shè)\(n\)個(gè)火柴堆的數(shù)目為集合\(S\)，如果\(S\)的某個(gè)子集\(R\)不存在任何一個(gè)非空子集異或和為\(0\)，那么\(R\in I\)

　　接下來(lái)我們來(lái)證明一下\(M=(S,I)\)是一個(gè)擬陣

　　1、首先\(S\)肯定是一個(gè)有限集

　　2、遺傳性：設(shè)\(A\in I\)，則由定義可知\(A\)不存在任何一個(gè)非空子集滿足異或和為\(0\)，所以對(duì)于任意\(B \subseteq A\)，\(B\)都滿足不存在任何一個(gè)非空子集異或和為\(0\)（因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(B\)的子集也是\(A\)的子集），所以\(B\in I\)，所以\(I\)是遺傳的

　　3、交換性質(zhì)：設(shè)\(，A，B\in I\)，且\(|B|>|A|\)，我們現(xiàn)在要證明\(\exists x\in B-A\)使得\(A\cup\{x\}\in I\)，這里考慮用反證法：假設(shè)對(duì)于\(\forall x\in B-A\)均有\(A\cup \{x\}\notin I\)，則\(B-A\)中的元素均可以由\(A\)的某個(gè)子集的異或和表示，因此我們可以得到結(jié)論\(B\)中的所有元素均可以由\(A\)的某個(gè)子集的異或和來(lái)表示。但是這與我們前面的假設(shè)\(|B|>|A|\)是矛盾的，所以假設(shè)不成立，得證。

?　　我們將\(M=(S,I)\)看成一個(gè)帶權(quán)擬陣，每個(gè)\(S\)中的元素的權(quán)值就是對(duì)應(yīng)的堆中火柴的數(shù)量，那么運(yùn)用貪心算法我們就可以在帶權(quán)擬陣中找出權(quán)值最大的基

　　所以就能直接用貪心做啦

? 　　

　　代碼大概長(zhǎng)這個(gè)樣子：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int MAXN=110,UP=30; int a[MAXN]; int n,m; ll ans; namespace xxj{int a[UP+1];bool insert(int x){for (int i=UP;i>=0;--i)if (x&(1<<i)){if (!a[i]){a[i]=x;break;}x^=a[i];}return x;} }int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("a.in","r",stdin); #endifscanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);sort(a+1,a+1+n);ans=0;for (int i=n;i>=1;--i)if (!xxj::insert(a[i])) ans+=a[i];printf("%lld\n",ans); }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【bzoj3105】新Nim游戏的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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