• 線性規(guī)劃

線性規(guī)劃函數(shù)

功能：求解線性規(guī)劃問題

語法

• x = linprog(f,A,b)：求解問題 min fx，約束條件為 Ax <= b
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq)：求解上面的問題，但增加等式約束，即 Aeqx = beq，若沒有不等式存在，則令 A= []、b = []
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：定義設(shè)計(jì)變量 x 的下屆 lb 和 上屆 ub，使得 x 始終在該范圍內(nèi)，若沒有等式約束，令 Aeq = []、beq = []
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)：設(shè)置初值為 x0。該選項(xiàng)只適用于中型問題，默認(rèn)大型算法將忽略初值
• x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：用 options 指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化
• [x,fval] = linprog(...)：返回解 x 處的目標(biāo)函數(shù)值 fval
• [x,lambda,exitflag] = linprog(...)：返回 exitflag 值，描述函數(shù)計(jì)算的退出條件
• [x,lambda,exitflag,output] = linprog(...)：返回包含優(yōu)化信息的輸出變量 output
• [x,fval,lambda,exitflag,output] = linprog(...)：將解 x 處的拉格朗日乘子返回到 lambda 參數(shù)中

變量及算法：lambda 參數(shù)介紹

• • lambda 是解 x 處的拉格朗日乘子，它的屬性如下
  • lambda.lower：lambda 的下屆
  • lambda.upper：lambda 的上屆
  • lambda.ineqlin：lambda 的線性不等式
  • lambda.eqlin：lambda 的線性等式

• • 大型優(yōu)化算法：采用 LIPSOL 法，該法在進(jìn)行迭代計(jì)算之前首先要進(jìn)行一系列的預(yù)處理
  • 中型優(yōu)化算法：linprog 函數(shù)使用的是投影法，就像 quadprog 函數(shù)的算法一樣，linprog 函數(shù)使用的是一種活動(dòng)集方法，是線性規(guī)劃中單純形法的變種，他通過求解另一個(gè)線性規(guī)劃問題來找到初始可行解
• 線性規(guī)劃問題的應(yīng)用

生產(chǎn)決策問題

• 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知制成一噸產(chǎn)品甲需用資源A 3 噸，資源B 4 $m^3$，制成每噸產(chǎn)品乙需用資源A 2 噸，資源B 6 $m^3$，資源C 7 個(gè)單位。若每噸產(chǎn)品甲和乙的經(jīng)濟(jì)價(jià)值分別為 7 萬元和 5 萬元，3 種資源的限制量分別為 80 噸、220 $m^3$ 和 230 個(gè)單位，試分析應(yīng)生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品各多少噸才能使創(chuàng)造的總經(jīng)濟(jì)價(jià)值最高？
• 這里可以令生產(chǎn)產(chǎn)品甲的數(shù)量為 $x_1$，生產(chǎn)產(chǎn)品乙的數(shù)量為 $x_2$。根據(jù)題意，代碼設(shè)置如下： clc clear f = [-7;-5]; A = [3 24 60 7]; b = [80;220;230]; lb = zeros(2,1);

  然后調(diào)用 linprog 函數(shù)：

  [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)

  最優(yōu)化結(jié)果如下：

?

?

• • 由上可知，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 4.7619 噸、乙種產(chǎn)品 32.8571 噸可使創(chuàng)造的總經(jīng)濟(jì)價(jià)值最高，最高經(jīng)濟(jì)價(jià)值為 197.6190 萬元。exitflag = 1 表示過程正常收斂于解 x 處。

2.工作人員計(jì)劃安排問題

• • ?某晝夜服務(wù)的公共交通系統(tǒng)每天各時(shí)間段(每 4 小時(shí)為一個(gè)時(shí)間段)所需的值班人數(shù)如表所示，這些值班人員在某一時(shí)段開始上班后要連續(xù)工作 8 小時(shí)(包括輪流用餐時(shí)間)，請(qǐng)問該公共交通系統(tǒng)至少需要多少名工作人員才能滿足值班的需要？

• • 這里可設(shè) $x_i$ 為第 i 個(gè)時(shí)段開始上班的人員數(shù) clc clear f = [1;1;1;1;1;1]; A = [-1 0 0 0 0 -1-1 -1 0 0 0 00 -1 -1 0 0 00 0 -1 -1 0 00 0 0 -1 -1 00 0 0 0 -1 -1]; b = [-50;-30;-70;-60;-40;-20]; lb = zeros(6,1);
  • 然后調(diào)用 linprog 函數(shù) [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)
  • 最優(yōu)化結(jié)果如下：

?　　　　　　可見只要 6 個(gè)時(shí)段分別安排 26 人、25 人、45 人、26 人、14 人和 24 人就可以滿足值班的需要，共計(jì) 160 人，并且計(jì)算結(jié)果 exitflag = 1 是收斂的

?3. 投資問題

• • 某單位有一批資金用于 4 個(gè)工程項(xiàng)目的投資，用于各工程項(xiàng)目時(shí)所得的凈收益(投入資金的百分比)如表所示

• • 由于某種原因，決定用于項(xiàng)目 A 的投資不大于其他各投資之和，而用于項(xiàng)目 B 和 C 的投資要大于項(xiàng)目 D 的投資，試確定使該單位收益最大的投資分配方案。
  • 這里可以用 $x_1、x_2、x_3 和 x_4$ 分別代表用于項(xiàng)目 A、B、C 和 D 的投資百分?jǐn)?shù)，由于各項(xiàng)目的投資百分?jǐn)?shù)之和必須等于 100%，所以 $x_1+x_2+x_3+x_4 = 1$，代碼設(shè)置如下： f = [-0.18;-0.1;-0.09;-0.12]; A = [1 -1 -1 -10 -1 -1 1]; b = [0;0]; Aeq = [1 1 1 1]; beq = [1]; lb = zeros(4,1);
  • 調(diào)用函數(shù)： [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
  • 結(jié)果如下：

說明 A、B、C、D 投入資金的百分比分別為 50%、25%、0%、25% 時(shí)，該單位收益最大

4. 工件加工任務(wù)分配問題

• • ?某車間有兩臺(tái)機(jī)床甲和乙，可用于加工 3 種工件。假定這兩臺(tái)機(jī)床的可用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為 600 和 900,3 種工件的數(shù)量分別為 400、600 和 500，且已知用兩臺(tái)不同機(jī)床加工單位數(shù)量的不同工件所需的臺(tái)時(shí)數(shù)和加工費(fèi)用(如表所示)，問怎樣分配機(jī)床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的需求，又使總加工費(fèi)用最低？

• • 這里可設(shè)在甲機(jī)床上加工工件1、2 和 3 的數(shù)量分別為 $x_1、x_2、x_3$，在乙機(jī)床上加工工件1、2 和 3 的數(shù)量分別為 $x_4、x_5、x_6$，根據(jù) 3 種工種的數(shù)量限制，則有：$x_1+x_4 = 400(對(duì)工件 1) ，x_2+x_5 = 600(對(duì)工件 2)，x_3+x_6=500(對(duì)工件 3)$，根據(jù)題意： clc clear f = [13;9;10;11;12;8]; A = [0.6 1.2 1.1 0 0 00 0 0 0.4 1.2 1.0]; b = [600;900]; Aeq = [1 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1]; beq = [400 600 500]; lb = zeros(6,1);

    然后調(diào)用 linprog 函數(shù)：

    [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

    結(jié)果如下：

在甲機(jī)床上加工 500 個(gè)工件 2，在乙機(jī)床上加工 400 個(gè)工件 1、加工 100 個(gè)工件 2、加工 500 個(gè)工件 3，可在滿足條件的情況下使總加工費(fèi)用最小，最小費(fèi)用為 14100 元。

?

?5. 廠址選擇問題

• • ?A、B、C 三地，每地都出產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品，也消耗一定數(shù)量的原料(如表所示)，已知制成每噸產(chǎn)品需 3 噸原料，各地之間的距離為：A-B，150km；A-C，100km，B-C，200km。假定每萬噸原料運(yùn)輸 1lm 的運(yùn)價(jià)是 5000 元，每萬噸產(chǎn)品運(yùn)輸 1lm 的運(yùn)價(jià)是 6000 元。由于地區(qū)條件的差異，在不同地點(diǎn)設(shè)廠的生產(chǎn)費(fèi)用也不同。問究竟在哪些地方設(shè)廠，規(guī)模多大，才能使總費(fèi)用最小？另外，由于其他條件限制，在 B 處建廠的規(guī)模(生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量)不能超過 6 萬噸

• • 這里可令 $x_{ij}$ 為由 i 地運(yùn)到 j 地的原料數(shù)量(萬噸)，$y_{ij}$ 為由 i 地運(yùn)往 j 地的產(chǎn)品數(shù)量(萬噸)，i，j = 1,2,3(分別對(duì)應(yīng)A、B、C三地)，根據(jù)題意： clc clear f = [75;75;50;50;100;100;150;240;210;120;160;220]; A = [1 -1 1 -1 0 0 3 3 0 0 0 0-1 1 0 0 1 -1 0 0 3 3 0 00 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0]; b = [21;17;22;6]; Aeq = [0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]; beq = [6;12]; lb = zeros(12,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb);

    可見要使總費(fèi)用最小，A、B、C 三地的建廠規(guī)模分別為 6 萬噸、5.667 萬噸和 6.333 萬噸，最小總費(fèi)用為 2.9733e+03 萬元

?6. 確定職工編制問題

• • 某工廠每日 8小時(shí)的產(chǎn)量不低于 1800 件。為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計(jì)劃聘請(qǐng)兩個(gè)不同水平的檢驗(yàn)員。一級(jí)檢驗(yàn)員的速度為 25件/小時(shí)，正確率 98%，計(jì)時(shí)工資 4元/小時(shí)，二級(jí)檢驗(yàn)員的速度為 15件/小時(shí)，正確率 95%，計(jì)時(shí)工資 3元/小時(shí)，檢驗(yàn)員每錯(cuò)一次，工廠要損失 2 元。現(xiàn)有可供廠方聘請(qǐng)的檢驗(yàn)員人數(shù)為一級(jí) 7人和二級(jí) 8人。為使總檢驗(yàn)費(fèi)用最省，該工廠應(yīng)聘請(qǐng)一級(jí)、二級(jí)檢驗(yàn)員各多少名？
  • 可設(shè)需要一級(jí)和二級(jí)檢驗(yàn)員的人數(shù)分別為 $x_1$ 和 $x_2$ 名，根據(jù)題意： clc clear f = [40;36]; A = [1 00 1-5 -3]; b = [7;8;-45]; lb = zeros(2,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);

可見，招聘一級(jí)檢驗(yàn)員 7名，二級(jí)檢驗(yàn)員 3名可使總檢驗(yàn)費(fèi)用最少，約為400.00元

7. 生產(chǎn)計(jì)劃的最優(yōu)化問題

• • 某工廠生產(chǎn) A 和 B 兩種產(chǎn)品，它們需要經(jīng)過 3 種設(shè)備的加工，其加工如表所示，設(shè)備一、二和三每天可使用的時(shí)間分別不超過 11、9 和 12小時(shí)。產(chǎn)品 A 和 B 的利潤(rùn)隨市場(chǎng)的需求有所波動(dòng)，如果預(yù)測(cè)未來某個(gè)時(shí)期內(nèi) A 和 B 的利潤(rùn)分別為 5000元/噸和 3000元/噸，問在那個(gè)時(shí)期內(nèi)，每天應(yīng)生產(chǎn)A、B各多少噸，才能使工廠獲利最大?

• • 這里可設(shè)每天應(yīng)安排生產(chǎn) A 和 B 分別為 $x_1$ 和 $x_2$ 噸，根據(jù)題意： clc clear f = [-5;-3]; A = [4 35 46 3]; b = [11;9;12]; lb = zeros(2,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb)

    每天生產(chǎn) A 產(chǎn)品 1.80噸、B產(chǎn)品 0 噸可使工廠獲得最大利益 9000元/噸。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB 线性规划实例应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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