題面：UVA1386 Cellular Automaton

矩陣乘法+快速冪解法：

這是一個比較裸的有點復雜需要優(yōu)化的矩乘快速冪，所以推薦大家先做一下下列洛谷題目練練手：

（會了，差不多就是多倍經(jīng)驗題了）

注：如果你還不會矩陣乘法，可以移步了解一下P3390的題解

P1939 【模板】矩陣加速（數(shù)列）

P3390 【模板】矩陣快速冪

P1962 斐波那契數(shù)列

P4910 帕秋莉的手環(huán)

P4838 P哥破解密碼

然后講一下本題，讀題我們發(fā)現(xiàn)這個環(huán)上所進行的 k 次操作都是一模一樣的，還是相鄰的數(shù)的和，于是想到用矩陣快速冪來寫。

解題思路：

我們可以根據(jù) d 的值來建出基礎矩陣，舉個例子（樣例）：

1 1 0 0 11 1 1 0 00 1 1 1 00 0 1 1 11 0 0 1 1

這是樣例每一次操作所對應的乘法矩陣。我們要求出 k 次操作后的環(huán)上的元素等同于乘以 k 次這個矩陣，而這個過程可以直接用快速冪優(yōu)化成log復雜度。

于是我們便可以光明正大的提交，然后光榮 TLE 了

為什么呢？我們看到數(shù)據(jù)范圍：$ n \leq 500$ ！眾所周知：矩陣乘法中矩陣上每一個元素都會被用行乘列的方式更新，所以復雜度為 \(n^3\),在乘上快速冪的一個log n ，不TLE才怪！

優(yōu)化方案：

于是我們嘗試優(yōu)化一下(把那個\(n^3\)降到\(n^2\))：我們再看到上面樣例的矩陣，可以發(fā)現(xiàn)它的下一行等于上一行所有的 1 向右移一位。所以我們進行矩陣乘法時可以不更新矩陣的每一個位置，而是只更新它的第一行（將它壓縮一下）其它幾行可以通過第一行推出來。

例如：

0 2 1 1 2

我們可以通過這一行推出整個矩陣（向右移一位）：

0 2 1 1 2 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 2 1 1 2 0

于是乎，我們寫一個新的”矩陣乘法“代碼如下：

void cheng(ll a[],ll b[]){for(int i=1;i<=n;i++)//預處理 1res[i]=0,s[1][i]=b[i];for(int i=2;i<=n;i++){s[i][1]=s[i-1][n];for(int j=2;j<=n;j++)s[i][j]=s[i-1][j-1];}// 解壓一維矩陣，復雜度不會變回 n^3！for(int i=1;i<=n;i++)for(int k=1;k<=n;k++)res[i]+=(a[k]*s[i][k])%m,res[i]%=m;for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=res[i]; }// 本題專用“矩陣乘法” //請不要直接給a數(shù)組賦值，不然后果自負！

然后在用快速冪優(yōu)化一下：

while(k){if(k&1)cheng(ans,base);cheng(base,base);k>>=1;}

完整代碼：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<iomanip> #include<algorithm>#define ll long long #define db double #define inf 0x7fffffffusing namespace std;const int l=501; int n,m,d,k; ll s[l][l]; ll ans[l],base[l],res[l]; // ans=(answer),base(基礎矩陣),res=(result) // s數(shù)組是用來解壓矩陣的（將一維矩陣換成二維）inline ll qr(){char ch;while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');ll res=ch^48;while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48);return res; }void cheng(ll a[],ll b[]){for(int i=1;i<=n;i++)//預處理 1res[i]=0,s[1][i]=b[i];for(int i=2;i<=n;i++){s[i][1]=s[i-1][n];for(int j=2;j<=n;j++)s[i][j]=s[i-1][j-1];}// 解壓一維矩陣，復雜度不會變回 n^3！for(int i=1;i<=n;i++)for(int k=1;k<=n;k++)res[i]+=(a[k]*s[i][k])%m,res[i]%=m;for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=res[i]; }// 本題專用“矩陣乘法” //請不要直接給a數(shù)組賦值，不然后果自負！int main(){while(scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&d,&k)!=EOF){for(int i=1;i<=n;i++)//預處理 2ans[i]=qr(),base[i]=0;for(int i=0;i<=d;i++)//單位矩陣base[1+i]=base[(n-i)%n+1]=1;while(k){if(k&1)cheng(ans,base);cheng(base,base);k>>=1;}// 只有四行的快速冪for(int i=1;i<n;++i){printf("%lld ",ans[i]);}printf("%lld\n",ans[n]);}return 0; }//預處理 1：將res數(shù)組歸零，將b數(shù)組賦值給s數(shù)組第一維以便壓縮//預處理 2：給ans數(shù)組賦初值，將單位矩陣清零

注：解壓矩陣會消耗很多時間，也可以不解壓，但乘起來會有些麻煩（蒟蒻手殘，就不壓行了吧）。

轉載于:https://www.cnblogs.com/812-xiao-wen/p/9871484.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的UVA1386 【Cellular Automaton】题解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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