文章目錄

• • • • 群的定義
      • 群的分類
      • 群的證明方法
      • 交換群的證明方法
      • 數集回顧
      • 群的證明

群的定義

群 的 定義 : 一個 非空 集合 $G$ 中 , 如果 定義了 一個 “乘法” 運算 , 滿足以下 四個 性質 , 那么 該 非空集合 $G$ 稱為 群 ;

• 1. 封閉性 :
  • 1> 符號表示 : $?a,b\in G,a\times b=c\in G$
  • 2> 自然語言描述 : 非空集合 $G$ 中任意兩個元素 $a,b$ 相乘, 其結果 $c$ 也是 集合 $G$ 中的元素 ;
• 2. 結合律 :
  • 符號表示 : $?a,b,c\in G,a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$ ;
• 3. 有單位元 :
  • 1> 符號表示 : $?e\in G,?a\in G,e\times a=a\times e=a$
  • 2> 自然語言描述 : 存在一個 $e$ , 乘以 $a$ , 或者 與 $a$ 相乘 , 其結果都是 $a$ , 相當于 $1$ ;
• 4. 每個元 $a$ 有逆元 $a^{?1}$ :
  • 1> 符號表示 : $?e\in G,?a\in G,?a^{?1}\in G,a^{?1}\times a=a\times a^{?1}=e$ ,
  • 2> 自然語言描述 : $e$ 是之前的 單位元 ( 類似于 $1$ ) , $a$ 與 $a$ 的逆 相乘 , 結果是單位元 $e$ ;

注意 :
這個 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元運算 ;
$G\times G$ 構成代數結構可以表示成 $(G,?)$

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群的分類

群 的 分類 :

• 1.交換群 ( Abel 群 ) : 交換律 成立的 群 , 稱為 交換群 或 Abel 群 ;
• 2.非交換群 ( 非 Abel 群 ) : 交換律 不成立的 群 , 稱為 非交換群 或 非 Abel 群 ;
• 3.群 的 階 : 群 $G$ 含有的元素個數叫群的階 , 記做 $|G|$ ;
• 4.有限群 : $|G|$ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
• 5.無限群 : $|G|$ 是 無限的 , 叫做 無限群 ;

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群的證明方法

群的證明方法 : 給定一個 集合 $G$ 和 二元運算 , 證明該集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先說明 該集合是一個非空集合 ;
• 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個元素 進行運算 得到的 第三個元素 必須也在 集合中 ;
• 3.證明結合律 : 集合中 $a$ 與 $b$ 和 $c$ 進行二元運算 , 其結果 與 $a$ 和 $b$ 與 $c$ 進行運算結果相同 ;
• 4.證明其有單位元 : 集合中存在一個 $e$ 元素 , $a$ 與 $e$ 和 $e$ 與 $a$ 運算 結果都是 $a$ ; 相當于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.證明其逆元 : $a$ 與 $a^{?1}$ 或者 $a^{?1}$ 與 $a$ 進行運算 , 其結果是 $e$ 單位元 ;

滿足以上 $4$ 個條件 , 就可以證明 該集合 是一個 關于該運算的 群 ;

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交換群的證明方法

在群的證明方法基礎上 , 證明其交換律成立 ;

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數集回顧

數集 及 表示方法 :

• 1.整數 : $Z$ , 所有整數組成的集合 , 稱為 整數集 ;
• 2.正整數 : $Z^{+},N^{?},N^{+}$ , 所有正整數組成的集合 , 稱為正整數集 ;
• 3.負整數 : $Z^{?}$ , 所有負整數組成的集合 , 稱為負整數集 ;
• 4.非負整數 : $N$ , 所有非負整數組成的集合 , 稱為非負整數集 ( 或 自然數集 ) ;
• 5.有理數 : $Q$ , 全體有理數 組成的集合 , 稱為有理數集 ;
• 6.實數集 : $R$ , 全體實數組成的集合 , 稱為實數集 ;
• 7.虛數 : $I$ , 全體虛數組成的集合 , 稱為虛數集 ;
• 8.復數 : $C$ , 全體實數 和 虛數 組成的集合 , 稱為復數集 ;

有理數 : 是由整數除法產生的 , 可以由分數表示 , 其小數部分為 有限 或 無限循環小數 ;
實數 : 無理數一般是由正整數開方產生 , 實數與數軸上的點一一對應 , 包含有理數 和 無理數 , 無理數是無限不循環小數 ;
虛數 : 虛數一般是平方是負數或根號內是負數產生 , 虛數分為實部 或 虛部 ;

數集中的常用上標 用法 :

• 1.正數 : ${}^{+}$ 表示該數集中元素全為 正數 ;
• 2.負數 : ${}^{?}$ 表示該數集中的元素全為 負數 ;
• 3.剔除 $0$ 元素 : ${}^{?}$ 表示剔除該數集上的元素 $0$ ;

$R^{?}$ 表示剔除 實數集 $R$ 中的 元素 $0$ ,
$R^{?}=R?\{0\}=R^{?}\cup R^{+}=(?\infty ,0)\cup (0,+\infty )$

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群的證明

題目 : 證明所有有理數 關于 乘法 構成一個群 ;

證明方法 : 給定一個 集合 $G$ 和 二元運算 , 證明該集合是群 ;

• 1.非空集合 : 首先說明 該集合是一個非空集合 ;
• 2.證明封閉性 : 集合 中 任意兩個元素 進行運算 得到的 第三個元素 必須也在 集合中 ;
• 3.證明結合律 : 集合中 $a$ 與 $b$ 和 $c$ 進行二元運算 , 其結果 與 $a$ 和 $b$ 與 $c$ 進行運算結果相同 ;
• 4.證明其有單位元 : 集合中存在一個 $e$ 元素 , $a$ 與 $e$ 和 $e$ 與 $a$ 運算 結果都是 $a$ ; 相當于乘法中的 $1$ 或 加法中的 $0$ ;
• 5.證明其逆元 : $a$ 與 $a^{?1}$ 或者 $a^{?1}$ 與 $a$ 進行運算 , 其結果是 $e$ 單位元 ;

滿足以上 $4$ 個條件 , 就可以證明 該集合 是一個 關于該運算的 群 ;

證明 :

① 封閉性 : 有理數 相乘 肯定也是有理數 , 滿足封閉性 ;
② 結合律 : $3$ 個 任意 有理數 相乘 , 顯然也是 滿足 結合律的 ;
③ 證明單位元 : 存在 $e=1$ , 有理數 乘以 1 或者 1 乘以 有理數 , 都等于該有理數 , 說明單位元存在 ;
④ 證明逆 $a^{?1}$ 的存在 : 集合中的任意元素 $a$ , 其 $a^{?1}=\frac{1}{a}$ , $a^{?1}\times a=a\times a^{?1}=e=1$ , 其逆元成立 ;

因此 有理數 關于 乘法 構成一個群 ;

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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