文章目錄

• • • • I . 基矩陣 B
      • II . 基向量 $P_j$
      • III . 基變量
      • IV . 非基矩陣 $N$
      • V . 系數矩陣分塊形式 $A=(BN)$
      • VI . 基變量向量 $X_B$ 非基變量向量 $X_N$ 及 分塊形式
      • VII . 分塊形式的計算公式
      • VIII . 逆矩陣
      • IX . 解基變量
      • X . 基解
      • XI . 基可行解

I . 基矩陣 B

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線性規劃標準形式 , 約束方程的系數矩陣是 $A$ , 如下 :

$$\begin{gathered} A=?\begin{array}{cccccc} \\ & & & & & \\ & a_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}& \\ & & & & & \\ & a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}& \\ & & & & & \\ & ?& ?& ?& ?& \\ & & & & & \\ & a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}& \\ & & & & & \end{array}? \end{gathered}$$

該矩陣 $A$ 是 $m\times n$ 階矩陣 , 有 $m$ 行 , $n$ 列 , 代表 $m$ 個約束方程 , $n$ 個變量 , 并且 $n>m$ ;

基矩陣 $B$ :

• ① 滿秩子矩陣 : 矩陣 $A$ 的 滿秩子矩陣 $B$ , 矩陣 $B$ 的秩是 $m$ ;
• ② 列向量線性無關 : 該矩陣中的 列向量 線性無關 , 即 每一列不能通過 乘以系數 加減的方式得到另外一列列向量 ,
• ③ 基矩陣 $B$ : 這樣的 系數矩陣 $A$ 的 $m\times m$ 階滿秩矩陣 $B$ 就是基矩陣 ;

$$\begin{gathered} B=?\begin{array}{cccccc} \\ & & & & & \\ & a_{11}& a_{12}& ?& a_{1m}& \\ & & & & & \\ & a_{21}& a_{22}& ?& a_{2m}& \\ & & & & & \\ & ?& ?& ?& ?& \\ & & & & & \\ & a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mm}& \\ & & & & & \end{array}?=\left[\begin{array}{cccccc}& P_1& P_2& ?& P_m& \end{array}\right] \end{gathered}$$

II . 基向量 $P_j$

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基向量 :

• ① 概念 : 基矩陣 $B$ 中的每個列向量 , 都是一個 基向量 , 記作 $P_j$ , 其中 $j=1,2,?,m$ ;
• ② 基向量個數 : 每個基矩陣中有 $m$ 個列向量 ;

III . 基變量

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基變量 : 每個基向量都對應一個變量 , 基向量是列向量 , 該列向量是 $x_j$ 變量的系數組成 , 這個對應的 $x_j$ 變量就是基變量 ;

IV . 非基矩陣 $N$

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非基矩陣 $N$ : 確定一個基矩陣 , 剩下的列向量就是 非基向量 , 這些非基向量 組成 非基矩陣 $N$ ;

$$\begin{gathered} N=?\begin{array}{cccccc} \\ & & & & & \\ & a_{1m+1}& a_{1m+2}& ?& a_{1n}& \\ & & & & & \\ & a_{2m+1}& a_{2m+2}& ?& a_{2n}& \\ & & & & & \\ & ?& ?& ?& ?& \\ & & & & & \\ & a_{mm+1}& a_{mm+2}& ?& a_{mn}& \\ & & & & & \end{array}?=\left[\begin{array}{cccccc}& P_{m+1}& P_{m+2}& ?& P_n& \end{array}\right] \end{gathered}$$

V . 系數矩陣分塊形式 $A=(BN)$

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系數矩陣 $A$ , 可以寫成分塊形式 :

$$\begin{gathered} A=?\begin{array}{cccccc} \\ & & & & & \\ & a_{11}& a_{12}& ?& a_{1n}& \\ & & & & & \\ & a_{21}& a_{22}& ?& a_{2n}& \\ & & & & & \\ & ?& ?& ?& ?& \\ & & & & & \\ & a_{m1}& a_{m2}& ?& a_{mn}& \\ & & & & & \end{array}?=\left[\begin{array}{cccc}& B& N& \end{array}\right] \end{gathered}$$

VI . 基變量向量 $X_B$ 非基變量向量 $X_N$ 及 分塊形式

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基變量向量 $X_B$ :

$$\begin{gathered} X_B=?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & x_1& \\ & & \\ & x_2& \\ & & \\ & ?& \\ & & \\ & x_m& \\ & & \end{array}? \end{gathered}$$

非基變量向量 $X_N$ :

$$\begin{gathered} X_B=?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & x_{m+1}& \\ & & \\ & x_{m+2}& \\ & & \\ & ?& \\ & & \\ & x_n& \\ & & \end{array}? \end{gathered}$$

向量 $X$ 可以寫成 $X_B$ 和 $X_N$ 分塊形式 :

$$\begin{gathered} X=?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & x_1& \\ & & \\ & x_2& \\ & & \\ & ?& \\ & & \\ & x_n& \\ & & \end{array}?=?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & x_B& \\ & & \\ & x_N& \\ & & \end{array}? \end{gathered}$$

VII . 分塊形式的計算公式

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矩陣分塊形式方程代入 : 約束方程組 $AX=b$ ;

$b$ 是大于 $0$ 的常數組成的向量 ;

將上述分塊形式的 矩陣 $A$ 和 矩陣 $X$ 代入 上述 $AX=b$ 公式 ;

$$A=\left[\begin{array}{cccc}& B& N& \end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} X=?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & X_B& \\ & & \\ & X_N& \\ & & \end{array}? \end{gathered}$$

得到

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}& B& N& \end{array}\right]\times ?\begin{array}{ccc} \\ & & \\ & X_B& \\ & & \\ & X_N& \\ & & \end{array}?=b \end{gathered}$$

$$B{X}_B+N{X}_N=b$$

VIII . 逆矩陣

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逆矩陣 : 其中矩陣 $B$ 是滿秩的 $m\times m$ 階矩陣 , 該矩陣是可逆的 ( 非奇異矩陣 ) , 必定存在一個 $B^{?1}$ , 使得
$$B\times B^{?1}=E$$

單位矩陣 : 這里的 矩陣 $E$ 是單位矩陣 , 即 左上角到右下角 對角線 上 的元素 為 $1$ , 其它元素為 $0$ ;
主對角線 : 左上角 到 右下角 的對角線稱為 主對角線 ;
單位矩陣 示例 如下 :
$$E=?\begin{array}{ccccc}& 1& 0& 0& \\ & & & & \\ & 0& 1& 0& \\ & & & & \\ & 0& 0& 1& \end{array}?$$

IX . 解基變量

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解基變量 :

$$B{X}_B+N{X}_N=b$$

將 $N{X}_N$ 提到公式右邊 :

$$B{X}_B=b?N{X}_N$$

公式兩邊乘以 $B^{?1}$ :

$$B{X}_B\times B^{?1}=(b?N{X}_N)\times B^{?1}$$

$$X_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N$$

X . 基解

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引入基解 : 令非基變量 $X_N$ 中所有變量為 $0$ , 此時上述公式為 :

$$X_B=B^{?1}b$$
約束方程的解為
$$X=?\begin{array}{ccc}& X_B& \\ & & \\ & 0& \end{array}?=?\begin{array}{ccc}& B^{?1}b& \\ & & \\ & 0& \end{array}?$$
上述解為基解 , 矩陣 $B$ 是滿秩的 , 其秩為 $m$ , 將非基變量賦值 $0$ , 剩余的 $m$ 個變量 , $m$ 個等式 , 必能解出一組唯一解 ; 即
$$\sum _{j=1}^m{p}_j{x}_j=b$$
方程組有唯一解

$$X_B=?\begin{array}{ccc}& x_1& \\ & & \\ & x_2& \\ & & \\ & ?& \\ & & \\ & x_m& \end{array}?$$
該解 $X_B$ 是線性規劃的一個基解 ;

XI . 基可行解

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基可行解 : 如果上述解出的基解 $X_B$ , 滿足線性規劃數學模型 標準形式 的變量非負約束 , 即所有的變量都大于等于 $0$ , 該解稱為基可行解 ;

并不是所有的基解都是基可行解 , 只有部分基解是基可行解 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划 单纯形法 ( 基矩阵 | 基变量 | 非基矩阵 | 非基变量 | 矩阵分块形式 | 逆矩阵 | 基解 | 基可行解 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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