文章目錄

• 一、正則表達式 定義
• 二、 正則表達式語言 原子定義
• 三、正則表達式語言 結構歸納定義
• 四、正則表達式語言 示例
• 五、空集 $?$ 與 空字符 $\epsilon$ 差別
• 六、正則表達式 定理
• 七、根據 正則表達式 語言 構造 自動機 ( 定理正向證明 )
• 八、構造原子自動機
• 九、使用 原子自動機 拼裝 正則表達式對應的自動機

一、正則表達式 定義

---

1 . 正則表達式原子定義 :

如果 $R$ 是

• 字符集 $\Sigma$ 中的 $1$ 個字符 ,
• 空字符串 $\epsilon$ , 或
• 空集 $\{?\}$ ,

那么稱 $R$ 是正則表達式 ;

2 . 正則表達式遞歸定義 :

如果 $R_1,R_2$ 是正則表達式 , 那么

• $R_1\cup R_2$ 是正則表達式 ;
• $R_1°R_2$ 是正則表達式 ;
• $R_1^{?}$ 是正則表達式 ;

上述是正則表達式的定義 , 這是一個結構歸納定義 ;

二、 正則表達式語言 原子定義

---

正則表達式語言表示方式 : $R$ 是正則表達式 , $L(R)$ 是正則表達式代表的語言 ;

1 . 單個字符代表的語言 :

$$L(a)=\{a\}$$

$a$ 是字符集中的字符 , 那么其所代表的的語言是 $\{a\}$ 單元集 , 是由一個元素的字符構成的 ;

2 . 空字符串代表的語言 :

$$L(\epsilon )=\{\epsilon \}$$

如果 $\epsilon$ 是正則表達式 , 其所代表的的語言 $L(\epsilon )$ , 是由空字符串組成的集合 $\{\epsilon \}$ ;

3 . 空集代表的語言 :

$$L(?)=?$$

空集 $?$ 所代表的的語言 , 就是空集 ;

三、正則表達式語言 結構歸納定義

---

1 . 正則表達式并集 的 語言 :

$$L(R_1\cup R_2)=L(R_1)\cup L(R_2)$$

$R_1,R_2$ 是兩個正則表達式 , 其并集的語言 , 就是其 兩個語言的并集 ;

2 . 正則表達式串聯 的 語言 :

$$L(R_1°R_2)=L(R_1)°L(R_2)$$

$R_1,R_2$ 是兩個正則表達式 , 其串聯運算結果正則表達式的語言 , 就是其 兩個正則表達式語言的 串聯運算結果 ;

3 . 正則表達式星運算 的 語言 :

$$L(R^{?})=(L(R){)}^{?}$$

$R$ 正則表達式 星運算 結果 正則表達式 的語言 , 就是 $R$ 正則表達式的語言 進行 星運算的結果 ;

四、正則表達式語言 示例

---

字符集 : $\Sigma =\{0,1\}$ ;

正則表達式 : $(0\cup 1{)}^{?}10(0\cup 1{)}^{?}$ ;

正則表達式轉化成語言 :

$$\begin{array}{lcl}& & L((0\cup 1{)}^{?}10(0\cup 1{)}^{?})\\ & & \\ & =& L((0\cup 1{)}^{?})°L(1)°L(0)°L((0\cup 1{)}^{?})\\ & & \\ & =& \{0,1{\}}^{?}°\{1\}°\{0\}°\{0,1{\}}^{?}\end{array}$$

上述 $\{0,1{\}}^{?}$ 就是 $0,1$ 有限個字符串組成的字符 ;

正則表達式表示的語言 , 剛好是自動機所識別的語言 ; 可以根據該語言將自動機設計出來 ;

五、空集 $?$ 與 空字符 $\epsilon$ 差別

---

空集 $?$ 是正則表達式 , 類似于數中的 $0$ ;

空字符 $\epsilon$ 是正則表達式 , 類似于數中的 $1$ ;

( 后續待補充 )

六、正則表達式 定理

---

1 . 定理 : 一個語言如果是正則語言 , 當且僅當 , 該語言可以通過正則表達式表示出來 ;

2 . 有以下兩層含義 :

• ① 正則表達式 -> 自動機識別 :正則表達式 表達出的語言 剛好 能夠被自動機識別 ;

• ② 自動機識別 -> 正則表達式 : 自動機識別某個語言 , 那么該語言可以被正則表達式表達出來 ;

3 . 定理證明 :

① 正則表達式 -> 自動機識別 證明 : 給定一個正則表達式 , 設計一個自動機 , 該自動機所 接受 ( 識別 / 認識 ) 的語言 , 剛好是該正則表達式所表達的語言 ;

下面的 " 根據 正則表達式 語言 構造 自動機 " 小節的示例 , 證明了正則表達式語言必有自動機識別 ;

② 自動機識別 -> 正則表達式 證明 : 給定一個自動機 , 找到其所識別的 正則表達式語言 ;

七、根據 正則表達式 語言 構造 自動機 ( 定理正向證明 )

---

1 . 需求 : 根據下面的 正則表達式 構造 非確定性有限自動機 ( NFA ) , 剛好能 識別上述正則表達式表示的語言 ;

$(ab\cup a{)}^{?}$

構造能識別 $(ab\cup a{)}^{?}$ 語言 的 自動機 ;

八、構造原子自動機

---

構造原子自動機 : 先構造能接收 單個字符 的自動機 ;

① 接收 $a$ 字符的自動機 : 下面的自動機是可以識別 $a$ 字符串的 ;

② 接收 $b$ 字符的自動機 : 下面的自動機是識別 $b$ 字符串的 ;

九、使用 原子自動機 拼裝 正則表達式對應的自動機

---

拼裝上述識別單個字符的 自動機 :

1 . 擺放自動機位置 : 將 $2$ 個能識別 $a$ 字符串的自動機 , 與 $1$ 個能識別 $b$ 字符串的自動機 , 按照如下排列放置 ;

2 . $ab$ 對應自動機構造 :

① 自動機連接方式 : $a$ 正則表達式語言 自動機 與 $b$ 正則表達式語言 自動機 是串聯在一起的 ;

② 串聯兩個自動機的狀態 : 使用 $\epsilon$ 箭頭 , 串聯 $a$ 對應自動機的接受狀態 -> $b$ 對應自動機的開始狀態 ;

③ 修改 前者 的狀態 : 同時將 $a$ 對應自動機的接受狀態 改為非接受狀態 ;

下面是 $ab$ 正則表達式 表達的語言 對應的自動機表示 :

3 . $ab\cup a$ 對應自動機構造 :

① 添加新開始狀態 : 重新添加一個開始狀態 ;

② 連接并運算前者 : 使用 $\epsilon$ 箭頭 從這個新添加的開始狀態 指向 $ab$ 自動機開始狀態 ;

③ 連接并運算后者 : 使用 $\epsilon$ 箭頭 從這個新添加的開始狀態 指向 $a$ 自動機開始狀態 ;

下面是 $ab\cup a$ 正則表達式 表達的語言 對應的自動機表示 :

4 . $(ab\cup a{)}^{?}$ 對應自動機構造 :

① 構造方法 : 就是 在 $(ab\cup a)$ 對應自動機的基礎上 , 使用 $\epsilon$ 箭頭 , 從 接受狀態 指向 開始狀態 ;

② 連接個數 : 所有的接受狀態 , 都 使用 $\epsilon$ 箭頭 指向開始狀態 , 這里有兩個接受狀態 , 需要都指向開始狀態 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】正则语言 ( 正则表达式原子定义 | 正则表达式递归定义 | 正则表达式语言原子定义 | 正则表达式语言结构归纳 | 正则表达式语言示例 | 根据正则表达式构造自动机 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。