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【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 )

發(fā)布時間：2025/6/17 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 ) 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、單純形法計算示例
二、轉(zhuǎn)化標準形式
三、查找初始基可行解
四、列出單純形表
五、最優(yōu)解判定

在上一篇博客【運籌學】線性規(guī)劃數(shù)學模型 ( 單純形法 | 最優(yōu)解判定原則 | 單純形表 | 系數(shù)計算方法 | 根據(jù)系數(shù)是否小于等于 0 判定最優(yōu)解 ) 博客中講解了最優(yōu)解判定原則 , 基本原理就是

目標函數(shù)推導后的結(jié)果 $maxZ = b_0 + ( C_N^T - C_B^T B^{-1}N )X_N$ ;
如果滿足條件 : " 當 $X_N = O$ 時 , 目標函數(shù)取值最大 " , 那么該 $B$ 矩陣對應的基可行解就是最優(yōu)解 ( 根據(jù)定理得出 ) ;
在 $C_N^T - C_B^T B^{-1}N )$ 計算結(jié)果中 , 每個分量的值都小于等于 $0$ 時 , 該解就是最優(yōu)解 ;
將 $C_N$ , $C_B$ , $B^{-1}N$ 寫入單純形表中 , 方便計算 ;
$C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) = \begin{pmatrix} c_{m+1} \quad c_{m+2} \quad \cdots \quad c_n \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} c_{1} \quad c_{2} \quad \cdots \quad c_m \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} &a_{1,m+1} & \cdots & a_{1n} & \\\\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\\\ &a_{m,m+1} & \cdots & a_{mn} & \end{bmatrix}$
根據(jù)上述公式 , 每個系數(shù)的計算公式為 : $σj=cj?∑ciaij\sigma_j = c_j - \sum c_i a_{ij}$ , 其中 $c_j$ 對應的是非基變量在目標函數(shù)系數(shù) , $c_i$ 是基變量在目標函數(shù)中的系數(shù) , $a_{ij}$ 是 $B^{-1}N$ 中的矩陣向量 , 代表一列 ;

單純形法解線性規(guī)劃的三大問題 : 查找初始基可行解 , 判定是否是最優(yōu)解 , 如何迭代基可行解 ;

在前幾篇博客中講解了如何查找初始基可行解 , 與判定是否是最優(yōu)解 , 本篇博客中講解如何進行迭代 ;

一、單純形法計算示例

使用單純形法求解線性規(guī)劃最優(yōu)解 :

$maxZ=3x1+4x2{2x1+x2≤40x1+3x2≤30xj≥0(j=1,2)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2 \\ \\ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 \leq 40 \\\\ x_1 + 3x_2 \leq 30 \\ \\x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 ) \end{cases}\end{array}$

二、轉(zhuǎn)化標準形式

首先將該線性規(guī)劃轉(zhuǎn)為標準形式 :

① 變量約束 : 首先查看變量約束 , 兩個變量都是 $≥0\geq 0$ 的 , 符合線性規(guī)劃標準形式要求 ;

② 不等式轉(zhuǎn)換 : 兩個等式都是小于等于不等式 , 需要在不等式左側(cè)加入松弛變量 , 將其轉(zhuǎn)為等式 ;

$x_1 + x_2 \leq 40$ , 左側(cè)加入松弛變量 $x_3$ , 變?yōu)? $2 x_1 + x_2 + x_3 = 40$
$x1+3x2≤30x_1 + 3x_2 \leq 30$ , 左側(cè)加入松弛變量 $x_4$ , 變?yōu)? $x_1 + 3x_2 + x_4 = 30$

③ 更新目標函數(shù) : 將 $x_3$ 和 $x_4$ 加入到目標函數(shù)中 , 得到新的目標函數(shù) $max Z = 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 + 0x_4$ ;

此時線性規(guī)劃標準形式為 :

$maxZ=3x1+4x2+0x3+0x4{2x1+x2+x3+0x4=40x1+3x2+0x3+x4=30xj≥0(j=1,2,3,4)\begin{array}{lcl} max Z = 3x_1 + 4x_2 + 0x_3 + 0x_4 \\ \\ \begin{cases} 2 x_1 + x_2 + x_3 + 0x_4 = 40 \\\\ x_1 + 3x_2 + 0x_3 + x_4 = 30 \\\\ x_j \geq 0 & (j = 1 , 2 , 3 , 4 ) \end{cases}\end{array}$

三、查找初始基可行解

找基矩陣 :

上述線性規(guī)劃標準形式的系數(shù)矩陣為 $[21101301]\begin{bmatrix} &2 & 1 & 1 & 0 & \\\\ & 1 & 3 & 0 & 1 & \end{bmatrix}$ , 其中子矩陣中有 $[1001]\begin{bmatrix} & 1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}$ 單位陣 $I$ ;

使用該單位陣 $I$ 作為基矩陣 , 單位陣肯定是可逆的 , 其對應的基解 , 解出后的值就是右側(cè)的常數(shù)值 , 肯定大于等于 $0$ , 是基可行解 ;

四、列出單純形表

列出單純形表 :

c_j

c_j

3

4

0

0

$C_B$ 基變量系數(shù) (目標函數(shù))	基變量	常數(shù) $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$θi\theta_i$
$0$ ( 目標函數(shù) $x_3$ 系數(shù) $c_3$ )	$x_3$	$40$	$2$	$1$	$1$	$0$
$0$ ( 目標函數(shù) $x_4$ 系數(shù) $c_4$ )	$x_4$	$30$	$1$	$3$	$0$	$1$
		$σj\sigma_j$	$3$	$4$	$0$	$0$

基變量是 $x_3$ 和 $x_4$ , 基變量在約束條件中的系數(shù)矩陣 $[1001]\begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ &0 & 1 & \end{bmatrix}$ 就是基矩陣 , 這是個單位陣 ;

基變量是 $x_3$ 和 $x_4$ 在目標函數(shù)中的系數(shù)是 $(00)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix}$ ;

此時的基解是 $(004030)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix}$ , 該解是初始解 , 下面判定該解是否是最優(yōu)解 ;

五、最優(yōu)解判定

使用檢驗數(shù)矩陣 $C_N^T - C_B^T B^{-1}N )$ 判斷上述解 , 是否是最優(yōu)解 , 該矩陣計算結(jié)果中所有的數(shù) , 都是檢驗數(shù) $σ\sigma$ , 如果所有的數(shù)都小于等于 $0$ , 說明該解就是最優(yōu)解 ;

這里只求非基變量的檢驗數(shù) , 即 $x_1$ , $x_2$ 的檢驗數(shù) ;

列出目標函數(shù)非基變量系數(shù) $C_N^T - C_B^T B^{-1}N )$ 矩陣 :

非基變量在目標函數(shù)中的系數(shù)矩陣 : $CNT=(34)C_N^T=\begin{pmatrix} \quad 3 \quad 4 \quad \end{pmatrix}$
基變量在目標函數(shù)中的敘述矩陣 : $CBT=(00)C_B^T = \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix}$
$B^{-1}N$ 是系數(shù)矩陣中經(jīng)過矩陣變換后 , 基變量系數(shù)是單位陣 $I$ , 非基變量系數(shù)是 $B^{-1}N$ : $B?1N=[2113]B^{-1}N =\begin{bmatrix} &2 & 1 & \\\\ &1 & 3 & \end{bmatrix}$

$C_N^T - C_B^T B^{-1}N ) = C_N^T=\begin{pmatrix} \quad 3 \quad 4 \quad \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \quad 0 \quad 0 \quad \end{pmatrix} \times \begin{bmatrix} &2 & 1 & \\\\ &1 & 3 & \end{bmatrix}$

$\begin{pmatrix} \quad \sigma_{1} \quad \sigma_{2} \quad \end{pmatrix}$

其中 $σ1\sigma_{1}$ 是目標函數(shù)中 $x_1$ 的系數(shù) , $σ2\sigma_{2}$ 是目標函數(shù)中的 $x_2$ 的系數(shù) ;

如果上述兩個系數(shù)都小于等于 $0$ , 那么當非基變量 $XN=(x1x2)X_N =\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ 取值為 $0$ 時 , 目標函數(shù)取值最大 ;

系數(shù)的計算公式為 : $σj=cj?∑ciaij\sigma_j = c_j - \sum c_i a_{ij}$ , 其中 $c_j$ 對應的是非基變量在目標函數(shù)系數(shù) , $c_i$ 是基變量在目標函數(shù)中的系數(shù) , $a_{ij}$ 是 $B^{-1}N$ 中的矩陣向量 , 代表一列 ;

$σ1=c1?(c3a11+c4a12)\sigma_{1} = c_1 - ( c_3 a_{11} + c_4 a_{12} )$

$σ1=3?(0×2)?(0×1)=3\sigma_{1} =3 - (0 \times 2) - (0 \times 1) = 3$ , 是從下面的單純形表中的如下位置提取的數(shù)值 ;

$σ2=c2?(c3a21+c4a22)\sigma_{2} = c_2 - ( c_3 a_{21} + c_4 a_{22} )$

$σ2=4?(0×1)?(0×3)=4\sigma_{2} =4 - (0 \times 1) - (0 \times 3) = 4$ , 是從下面的單純形表中的如下位置提取的數(shù)值 ;

如果這兩個系數(shù) , 如果都小于等于 $0$ , 該基可行解 $(004030)\begin{pmatrix} \quad 0 \quad \\ \quad 0 \quad \\ \quad 40 \quad \\ \quad 30 \quad \\ \end{pmatrix}$ 才是最優(yōu)解 , 這兩個系數(shù)都大于 $0$ , 因此不是最優(yōu)解 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 线性规划求解示例 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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