文章目錄

• 一、第二次迭代
• 二、方程組同解變換
• 三、生成新的單純形表
• 四、計算檢驗數、最優解判定
• 五、最優解個數說明
• • 1、唯一最優解
  • 2、無窮最優解
  • 3、無界解
  • 4、總結
• 六、出基變量選擇說明

上一篇博客 【運籌學】線性規劃數學模型 ( 單純形法 | 第一次迭代 | 方程組同解變換 | 計算新單純形表 | 計算檢驗數 | 入基變量選擇 | 出基變量選擇 | 第三次迭代 | 得到最優解 ) 中進行了線性規劃的第一次迭代 , 本篇博客中進行第二次迭代 ;

一、第二次迭代

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當前的方程組為 $?\begin{array}{l}\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3?\frac{1}{3}{x}_4=30\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4=10\end{array}$ , 選擇 $x_1,x_2$ 作為基變量 , 基矩陣為 $?\begin{array}{c}\frac{5}{3}0\\ \\ \frac{1}{3}1\end{array}?$ , 進行同解變換 , 將基矩陣轉為單位陣 ;

二、方程組同解變換

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方程 $1$ 同解變換 :

將 $\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3?\frac{1}{3}{x}_4=30$ 方程中的 $x_1$ 的系數變為 $1$ , $x_2$ 的系數為 $0$ 保持不變 ;

方程的左右變量乘以 $\frac{3}{5}$ :

$$\begin{array}{lcl}\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3?\frac{1}{3}{x}_4& =& 30\\ & & \\ (\frac{5}{3}{x}_1+0x_2+x_3?\frac{1}{3}{x}_4)\times \frac{3}{5}& =& 30\times \frac{3}{5}\\ & & \\ x_1+0x_2+\frac{3}{5}{x}_3?\frac{1}{5}{x}_4& =& 18\end{array}$$

當前方程組變成 $?\begin{array}{l}{x}_1+0x_2+\frac{3}{5}{x}_3?\frac{1}{5}{x}_4=18\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4=10\end{array}$

方程 $2$ 同解變換 : 將方程 $1$ 乘以 $?\frac{1}{3}$ , 與方程 $2$ 相加 ;

① 方程 $1$ 乘以 $?\frac{1}{3}$ :

$$\begin{array}{lcl}(x_1+0x_2+\frac{3}{5}{x}_3?\frac{1}{5}{x}_4)\times ?\frac{1}{3}& =& 18\times ?\frac{1}{3}\\ & & \\ ?\frac{1}{3}{x}_1+0x_2+?\frac{1}{5}{x}_3+\frac{1}{15}{x}_4& =& ?6\end{array}$$

② 與方程 $2$ 相加 :

$$\begin{array}{lcl}(?\frac{1}{3}{x}_1+0x_2+?\frac{1}{5}{x}_3+\frac{1}{15}{x}_4)+(\frac{1}{3}{x}_1+x_2+0x_3+\frac{1}{3}{x}_4)& =& ?6+10\\ & & \\ 0x_1+x_2?\frac{1}{5}{x}_3+\frac{2}{5}{x}_4& =& 4\end{array}$$

當前方程組變成 $?\begin{array}{l}{x}_1+0x_2+\frac{3}{5}{x}_3?\frac{1}{5}{x}_4=18\\ \\ 0x_1+x_2?\frac{1}{5}{x}_3+\frac{6}{15}{x}_4=4\end{array}$

三、生成新的單純形表

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更新一下單純形表 : 將第三次迭代的矩陣填入下面的單純形表中 ;

$c_j$$c_j$$3$$4$$0$$0$

$C_B$ 基變量系數 (目標函數)	基變量	常數 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	${\theta }_i$
$0$ ( 目標函數 $x_3$ 系數 $c_3$ )	$x_3$	$40$	$2$	$1$	$1$	$0$	$40$ ( ${\theta }_3$ )
$0$ ( 目標函數 $x_4$ 系數 $c_4$)	$x_4$	$30$	$1$	$3$	$0$	$1$	$10$ ( ${\theta }_4$ )
${\sigma }_j$			$3$ ( ${\sigma }_1$ )	$4$ ( ${\sigma }_2$ )	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–
$0$ ( 目標函數 $x_3$ 系數 $c_3$ )	$x_3$	$30$	$\frac{5}{3}$	$0$	$1$	$?\frac{1}{3}$	$18$ ( ${\theta }_3$ )
$4$ ( 目標函數 $x_2$ 系數 $c_2$)	$x_2$	$10$	$\frac{1}{3}$	$1$	$0$	$\frac{1}{3}$	$30$ ( ${\theta }_2$ )
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$\frac{5}{3}$ ( ${\sigma }_1$ )	$0$	$0$	$?\frac{4}{3}$ ( ${\sigma }_4$ )
第二次迭代	–	–	–	–	–	–	–
$3$ ( 目標函數 $x_1$ 系數 $c_1$ )	$x_1$	$18$	$1$	$0$	$\frac{3}{5}$	$?\frac{1}{5}$	$?$ ( ${\theta }_3$ )
$4$ ( 目標函數 $x_2$ 系數 $c_2$)	$x_2$	$4$	$0$	$1$	$?\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$?$ ( ${\theta }_2$ )
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$0$	$0$	$?$ ( ${\sigma }_3$ )	$?$ ( ${\sigma }_4$ )

四、計算檢驗數、最優解判定

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計算檢驗數 $\sigma$ :

${\sigma }_3=0?3\times \frac{3}{5}?4\times (?\frac{1}{5})=?\frac{9}{5}+\frac{4}{5}=?1$

${\sigma }_4=0?3\times (?\frac{1}{5})?4\times \frac{2}{5}=\frac{3}{5}?\frac{8}{5}=?1$

兩個非基變量的檢驗數都是小于等于 $0$ 的 , 因此該基可行解 $?\begin{array}{c}18\\ 4\\ 0\\ 0\end{array}?$是最優解 ;

五、最優解個數說明

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1、唯一最優解

唯一最優解 : 上述示例中有最優解 , 兩個檢驗數全都小于 $0$ , 說明該線性規劃有唯一最優解 ;

如果有一個檢驗數等于 $0$ , 該線性規劃有無窮多最優解 ;
如果非基變量系數都是負數 , 該線性規劃有無界解

2、無窮最優解

無數最優解 : 如果線性規劃中有兩個最優解 , 那么這兩個最優解之間的連線都是最優解 , 那么該線性規劃有無數個最優解 ;

無數最優解示例 : 非基變量檢驗數為 $0$ , 就會產生無窮最優解 ;

• 假如計算檢驗數時 , 有一個非基變量的檢驗數小于 $0$ , 另外一個 檢驗數等于 $0$ ;

• 假設目標函數是 $maxZ=b^0+0x_7?10x_8$ 形式的 , 一個系數為 $0$ , 一個系數為 $?10$ ;

• 此時 $x_7$ 不論取何值 , 都是最優解 , 該線性規劃就有無數個最優解 ;

3、無界解

無界解 :

假設線性規劃是如下方程組 $?\begin{array}{l}2x_1?x_2+x_3=40\\ \\ x_1?3x_2+x_4=30\end{array}$ , 該線性規劃一定沒有最優解 ;

構造一個解 $?\begin{array}{c}0\\ k\\ 40+k\\ 30+3k\end{array}?$ , 其中 $k$ 是任意一個大于 $0$ 的正數 , $?k>0$ ;

當 $k$ 大于等于 $0$ 時 , 該解是線性規劃的解 , 將上述解代入目標函數中 , 目標函數可以取值到正無窮 , 該解是無界解 ;

無界解的情況總結 ( 找不到出基變量 ) :

• 找不到出基變量 : 找到初始基可行解 , 其檢驗數大于 0 , 但是找不到出基變量 ;
• 出基變量選擇 : 出基變量是需要常數項除以對應非基變量系數中大于 $0$ 的數 , 取較小的那個系數對應的基變量 ;
• 這里兩個系數都小于 $0$ , 找不到出基變量 , 此時無法繼續進行迭代 , 這種情況下目標函數取不到最大值 , 目標函數可以取值無限大 ;

4、總結

根據檢驗數判定 :

• 唯一最優解 : 檢驗數全部小于 $0$ ;
• 無窮最優解 : 檢驗數有一個等于 $0$ ;
• 無界解: 能根據檢驗數找到入基變量 , 假如某個非基變量的系數全部小于 $0$ , 無法找到出擊變量 , 此時是無界解 ;

線性規劃無解的情況 : 線性規劃中 , 假設是有初始基可行解的 , 如果沒有解 , 初始基可行解也不存在 ;

六、出基變量選擇說明

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每次迭代時 , 先找到入基變量 ( 換入變量 ) , 然后根據換入變量計算 $\theta$ 值 , 找到出基變量 ( 換出變量 ) ;

出基變量查找方法 : 使用 常數項 , 與 入基變量中大于 $0$ 的系數 做除法 , 如果有小于 $0$ 的系數 , 那么不進行計算 , 該值沒有任何參考價值 ;

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 第二次迭代 | 方程组同解变换 | 生成新单纯形表 | 计算检验数 | 最优解判定 | 线性规划解个数分析 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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