文章目錄

• 一、線性規劃示例
• 二、轉化成標準形式
• 三、初始基可行解
• 四、列出單純形表
• 五、計算檢驗數
• 六、選擇入基變量與出基變量
• 七、第一次迭代 : 列出單純形表

一、線性規劃示例

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線性規劃示例 : 使用單純形法求解下面的線性規劃 ;

$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3\\ \\ s.t?\begin{array}{ll}2x_1?3x_2+2x_3\le 15& \\ & \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3\le 20& \\ & \\ x_j\ge 0& (j=1,2,3)\end{array}\end{array}$$

二、轉化成標準形式

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首先將現行規劃轉化成標準形式 :

參考 【運籌學】線性規劃數學模型標準形式 ( 標準形式 | 目標函數轉化 | 決策變量轉化 | 約束方程轉化 | 固定轉化順序 | 標準形式轉化實例 ) 線性規劃 普通形式 -> 標準形式 轉化順序說明 博客 , 先處理變量約束 , 再將不等式轉為等式 , 最后更新目標函數 ;

1 . 處理約束變量 : 所有的約束變量都大于等于 $0$ , 這里無需處理 ;

2 . 將不等式轉為等式 : 兩個不等式都是小于等于不等式 , 在左側加入松弛變量即可 ;

① 添加松弛變量 : 上述兩個不等式 $?\begin{array}{l}2x_1?3x_2+2x_3\le 15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3\le 20\end{array}$ , 在左側分別添加 $x_4,x_5$ 松弛變量 ;

② 最終結果 : 轉化后的結果是 $?\begin{array}{l}2x_1?3x_2+2x_3+x_4=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}$

3 . 處理目標函數取最大值 : 目標函數就是取最大值 , 無需處理 ;

4 . 最終的標準形結果是 :

$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3+0x_4+0x_5\\ \\ s.t?\begin{array}{l}2x_1?3x_2+2x_3+x_4+0x_5=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+0x_4+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

三、初始基可行解

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找初始基可行解 :

① 查找單位陣 : 該線性規劃標準形的系數矩陣中 , $x_4,x_5$ 的系數矩陣是 $\left(\begin{array}{c}10\\ 01\end{array}\right)$ , 該矩陣是單位陣 ;

② 可行基 : 選擇該矩陣作為可行基 ;

③ 初始基可行解 : 其對應的解是基可行解 $?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 15\\ 20\end{array}?$ ;

四、列出單純形表

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$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3+0x_4+0x_5\\ \\ s.t?\begin{array}{l}2x_1?3x_2+2x_3+x_4+0x_5=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+0x_4+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

$c_j$$c_j$$1$$2$$1$$0$$0$

$C_B$ 基變量系數 (目標函數)	基變量	常數 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	${\theta }_i$
$0$ ( 目標函數 $x_4$ 系數 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$2$	$?1$	$2$	$1$	$0$	$?$
$0$ ( 目標函數 $x_5$ 系數 $c_5$)	$x_5$	$20$	$\frac{1}{3}$	$1$	$5$	$0$	$1$	$20$
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$2$ ( ${\sigma }_2$ )	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$

五、計算檢驗數

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計算非基變量的檢驗數 :

單個檢驗數計算公式 : ${\sigma }_j=c_j?\sum c_i{a}_{ij}$ , 其中 $c_j$ 是對應目標函數非基變量系數 , $c_i$ 是目標函數中基變量系數 , $a_{ij}$ 是系數矩陣中對應的 $x_j$ 非基變量列向量 ;

① ${\sigma }_1$ 檢驗數計算 : ${\sigma }_1=1?(0\times 2+0\times \frac{1}{3})=1$

② ${\sigma }_2$ 檢驗數計算 : ${\sigma }_2=2?(0\times (?1)+0\times 1)=2$

③ ${\sigma }_{1}3$ 檢驗數計算 : ${\sigma }_3=1?(0\times 2+0\times 5)=1$

六、選擇入基變量與出基變量

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入基變量選擇 : 選擇檢驗數 ${\sigma }_j$ 較大的非基變量作為入基變量 , 即 $x_2$ ;

出基變量是根據 $\theta$ 值來選擇的 , 選擇 $\theta$ 值較小的值對應的基變量作為出基變量 ;

出基變量選擇 : 常數列 $b=\left(\begin{array}{c}15\\ 20\end{array}\right)$ , 分別除以除以入基變量 $x_2$ 大于 $0$ 的系數列 $?\begin{array}{c}?1\\ \\ 1\end{array}?$ , 計算過程如下 $?\begin{array}{c}系數小于0不計算\\ \\ \frac{20}{1}\end{array}?$ , 得出結果是 $?\begin{array}{c}無效值\\ \\ 20\end{array}?$ , 如果系數小于等于 $0$ , 該值就是無效值 , 默認為無窮大 , 不進行比較 , 選擇 $20$ 對應的基變量作為出基變量 , 查看該最小值對應的變量是 $x_5$ , 選擇該 $x_5$ 變量作為出基變量 ;

七、第一次迭代 : 列出單純形表

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上述已經得到 $x_2$ 作為入基變量 , 由非基變量轉為基變量 , $x_5$ 作為出基變量 , 由基變量轉為非基變量 ; 使用 $x_2$ , 替換基變量中的 $x_5$ 的位置 ;

基變量為 $x_4,x_2$ , 注意順序不要寫反 ;

$c_j$$c_j$$1$$2$$1$$0$$0$

$C_B$ 基變量系數 (目標函數)	基變量	常數 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	${\theta }_i$
$0$ ( 目標函數 $x_4$ 系數 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$2$	$?1$	$2$	$1$	$0$	$?$ (${\theta }_4$)
$0$ ( 目標函數 $x_5$ 系數 $c_5$)	$x_5$	$20$	$\frac{1}{3}$	$1$	$5$	$0$	$1$	$20$ ( ${\theta }_5$ )
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$2$ ( ${\sigma }_2$ )	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–
$0$ ( 目標函數 $x_4$ 系數 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$?$	$1$	$?$	$1$	$?$	$?$ ( ${\theta }_4$ )
$2$ ( 目標函數 $x_2$ 系數 $c_2$)	$x_2$	$20$	$?$	$0$	$?$	$0$	$?$	$?$ (${\theta }_2$)
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$0$	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$?$ ( ${\sigma }_2$ )

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划 单纯形法 案例二 ( 案例解析 | 标准形转化 | 查找初始基可行解 | 最优解判定 | 查找入基变量与出基变量 | 第一次迭代 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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