文章目錄

• 一、生成初始單純形表
• 二、計算非基變量檢驗數
• 三、最優解判定
• 四、選擇入基變量
• 五、選擇出基變量
• 六、更新單純形表

上一篇博客 【運籌學】線性規劃 人工變量法 ( 單純形法總結 | 人工變量法引入 | 人工變量法原理分析 | 人工變量法案例 ) 中 , 介紹了人工變量法 , 主要用于解決線性規劃標準形式中 , 初始系數矩陣中沒有單位陣的情況 , 并給出一個案例 , 本篇博客中繼續使用人工變量法解解上述線性規劃問題 ;

一、生成初始單純形表

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添加 $2$ 個人工變量后 , 得到 人工變量單純形法 線性規劃模型 :

$$\begin{array}{l}maxZ=3x_1+2x_2?x_3+0x_4+0x_5?M{x}_6?M{x}_7\\ \\ s.t?\begin{array}{l}?4x_1+3x_2+x_3?x_4+0x_5+x_6+0x_7=4\\ \\ x_1?x_2+2x_3+0x_4+x_5+0x_6+0x_7=10\\ \\ 2x_1?2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6+x_7=1\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5,6,7)\end{array}\end{array}$$

其中的 $M$ 是一個很大的數值 , 沒有具體的值 , 可以理解為正無窮 $+\infty$ , 具體使用單純形法進行計算時 , 將其理解為大于給出的任意一個確定的數值 ;

生成初始基可行表 :

$c_j$$c_j$$3$$2$$?1$$0$$0$$?M$$?M$

$C_B$ 基變量系數 (目標函數)	$X_B$ 基變量	常數 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$?M$ ( 目標函數 $x_6$ 系數 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$?4$	$3$	$1$	$?1$	$0$	$1$	$0$	$?$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目標函數 $x_5$ 系數 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$?1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$?$ ( ${\theta }_5$ )
$?M$ ( 目標函數 $x_7$ 系數 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$?2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$?$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$?$ ( ${\sigma }_1$ )	$?$ ( ${\sigma }_2$ )	$?$ ( ${\sigma }_3$ )	$?$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$	$0$

注意基變量順序 : 初始基可行解的單位陣的順序 , 是 $?\begin{array}{c}100\\ 010\\ 001\end{array}?$ , 對應的基變量順序是 $\left(\begin{array}{c}{x}_6{x}_5{x}_7\end{array}\right)$

• $x_6$ 系數是 $?\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}?$

• $x_5$ 系數是 $?\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}?$

• $x_7$ 系數是 $?\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}?$

二、計算非基變量檢驗數

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1 . 計算非基變量 $x_1$ 的檢驗數 ${\sigma }_1$ :

${\sigma }_1=3?\left(\begin{array}{c}?M0?M\end{array}\right)\times ?\begin{array}{c}?4\\ \\ 1\\ \\ 2\end{array}?=3?(?M\times ?4+0\times 1+?M\times 2)=3?2M$

其中 $M$ 是正無窮 $+\infty$ , $3?2M$ 是負數 ;

2 . 計算非基變量 $x_2$ 的檢驗數 ${\sigma }_2$ :

${\sigma }_2=2?\left(\begin{array}{c}?M0?M\end{array}\right)\times ?\begin{array}{c}3\\ \\ ?1\\ \\ ?2\end{array}?=2?(?M\times 3+0\times ?1+?M\times ?2)=2+M$

其中 $M$ 是正無窮 $+\infty$ , $2+M$ 是正數 ;

3 . 計算非基變量 $x_3$ 的檢驗數 ${\sigma }_3$ :

${\sigma }_3=?1?\left(\begin{array}{c}?M0?M\end{array}\right)\times ?\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}?=?1?(?M\times 1+0\times 2+?M\times 1)=?1+2M$

其中 $M$ 是正無窮 $+\infty$ , $?1+2M$ 是正數 ;

4 . 計算非基變量 $x_4$ 的檢驗數 ${\sigma }_4$ :

${\sigma }_4=0?\left(\begin{array}{c}?M0?M\end{array}\right)\times ?\begin{array}{c}?1\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}?=0?(?M\times ?1+0\times 0+?M\times 0)=?M$

其中 $M$ 是正無窮 $+\infty$ , $?M$ 是負數 ;

三、最優解判定

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根據上述四個檢驗數 $?\begin{array}{l}{\sigma }_1=3?2M(負數)\\ \\ {\sigma }_2=2+M(正數)\\ \\ {\sigma }_3=?1+2M(正數)\\ \\ {\sigma }_4=?M(負數)\end{array}$ 的值 , 其中 ${\sigma }_2,{\sigma }_3$ 檢驗數大于 $0$ , 該基可行解不是最優解 ;

只有當檢驗數都小于等于 $0$ 時 , 該基可行解才是最優解 ;

四、選擇入基變量

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根據上述四個檢驗數 $?\begin{array}{l}{\sigma }_1=3?2M\\ \\ {\sigma }_2=2+M\\ \\ {\sigma }_3=?1+2M\\ \\ {\sigma }_4=?M\end{array}$ 的值 , 選擇檢驗數最大的非基變量作為入基變量 , ${\sigma }_3=?1+2M$ 最大 , 這里選擇 $x_3$ ;

五、選擇出基變量

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出基變量選擇 : 常數列 $b=?\begin{array}{c}4\\ 10\\ 1\end{array}?$ , 分別除以除以入基變量 $x_3$ 大于 $0$ 的系數列 $?\begin{array}{c}1\\ \\ 2\\ \\ 1\end{array}?$ , 計算過程如下 $?\begin{array}{c}\frac{4}{1}\\ \\ \frac{10}{2}\\ \\ \frac{1}{1}\end{array}?$ , 得出結果是 $?\begin{array}{c}4\\ \\ 5\\ \\ 1\end{array}?$ , 如果系數小于等于 $0$ , 該值就是無效值 , 默認為無窮大 , 不進行比較 , 選擇 $1$ 對應的基變量作為出基變量 , 查看該最小值對應的變量是 $x_7$ , 選擇該 $x_7$ 變量作為出基變量 ;

六、更新單純形表

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$c_j$$c_j$$3$$2$$?1$$0$$0$$?M$$?M$

$C_B$ 基變量系數 (目標函數)	$X_B$ 基變量	常數 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	${\theta }_i$
$?M$ ( 目標函數 $x_6$ 系數 $c_6$ )	$x_6$	$4$	$?4$	$3$	$1$	$?1$	$0$	$1$	$0$	$4$ (${\theta }_6$)
$0$ ( 目標函數 $x_5$ 系數 $c_5$)	$x_5$	$10$	$1$	$?1$	$2$	$0$	$1$	$0$	$0$	$5$ ( ${\theta }_5$ )
$?M$ ( 目標函數 $x_7$ 系數 $c_7$)	$x_7$	$1$	$2$	$?2$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$1$ ( ${\theta }_7$ )
${\sigma }_j$ ( 檢驗數 )			$3?2M$ ( ${\sigma }_1$ )	$2+M$ ( ${\sigma }_2$ )	$?1+2M$ ( ${\sigma }_3$ )	$?M$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$	$0$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划 人工变量法 ( 人工变量法案例 | 初始单纯形表 | 检验数计算 | 入基变量 | 出基变量 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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