文章目錄

• 一、工廠生產產品模型
• 二、問題一 : 生產利潤最大化
• 三、問題二 : 設備出租問題
• 四、對偶問題引入

一、工廠生產產品模型

---

工廠生產 甲 , 乙 兩種產品 ;

生產每種產品 , 都需要使用 $4$ 種設備按照 $A,B,C,D$ 順序進行加工 ;

產品 / 設備$A$$B$$C$$D$利潤 ( 元 / 件 )

甲	$2$	$1$	$4$	$0$	$2$
乙	$2$	$2$	$0$	$4$	$3$
設備可用時間 ( 小時 )	$12$	$8$	$16$	$12$

生產 甲 產品 , 每件產品利潤 $2$ 元 , 需要按順序使用設備如下 :

• $A$ 設備 $2$ 小時
• $B$ 設備 $1$ 小時
• $C$ 設備 $4$ 小時
• $D$ 設備 $0$ 小時

生產 乙 產品 , 每件產品利潤 $3$ 元 , 需要按順序使用設備如下 :

• $A$ 設備 $2$ 小時
• $B$ 設備 $2$ 小時
• $C$ 設備 $0$ 小時
• $D$ 設備 $4$ 小時

二、問題一 : 生產利潤最大化

---

充分利用上述 $4$ 臺設備 , 生產 甲乙 產品 , 各多少件 , 能獲得最大利潤 ;

決策變量 : 設 甲產品 生產 $x_1$ 件 , 乙產品 生產 $x_2$ 件 ;

目標函數 : 最終目的是獲得利潤 , 引入目標函數是利潤總和 , 甲產品的利潤為 $2x_1$ , 以產品的利潤為 $3x_2$ , 最終目標函數為 : $maxZ=2x_1+3x_2$ ;

約束方程 :

• 設備 $1$ 的約束方程 : 設備 $1$ 的使用時長 , 不能超過 $12$ 小時 , 甲產品需要使用設備 $1$ 兩個小時 , 乙產品需要使用設備 $1$ 兩個小時 , 生成約束方程 $2x_1+2x_2\le 12$ ;
• 設備 $2$ 的約束方程 : 設備 $2$ 的使用時長 , 不能超過 $8$ 小時 , 甲產品需要使用設備 $2$ 一個小時 , 乙產品需要使用設備 $2$ 兩個小時 , 生成約束方程 $x_1+2x_2\le 8$ ;
• 設備 $3$ 的約束方程 : 設備 $3$ 的使用時長 , 不能超過 $16$ 小時 , 甲產品需要使用設備 $3$ 四個小時 , 乙產品不需要使用設備 $3$ , 生成約束方程 $4x_1\le 16$ ;
• 設備 $4$ 的約束方程 : 設備 $4$ 的使用時長 , 不能超過 $12$ 小時 , 甲產品不需要使用設備 $4$ , 乙產品需要使用設備 $4$ 四個小時 , 生成約束方程 $4x_2\le 12$ ;

變量約束 : 產品 $1$ 和產品 $2$ 的個數必須是大于等于 $0$ , 肯定沒有負數 ; $x_1\ge 0,x_2\ge 0$

最終生成的線性規劃數學模型為 :

$$\begin{array}{l}maxZ=2x_1+3x_2\\ \\ s.t?\begin{array}{ll}2x_1+2x_2\le 12& \\ & \\ x_1+2x_2\le 8& \\ & \\ 4x_1\le 16& \\ & \\ 4x_2\le 12& \\ & \\ x_j\ge 0& (j=1,2)\end{array}\end{array}$$

三、問題二 : 設備出租問題

---

如果不生產 甲乙 兩種產品 , 轉而出租設備 , 制定四種機器的最佳出租價格 ;

隱含條件 :

• 不吃虧原則 : 出租設備的利潤 , 不能低于生產產品的利潤 ;
• 競爭原則 : 在不吃虧的基礎上 , 盡量降低機器的總收費 , 提高市場競爭力 ;

企業擁有的資源是

• $A$ 設備 $12$ 小時可用時間
• $B$ 設備 $8$ 小時可用時間
• $C$ 設備 $16$ 小時可用時間
• $D$ 設備 $12$ 小時可用時間

決策變量 : 將上述設備出租 , 四種設備 , 每種設備都有一個租賃價格 , 分別是 $y_1,y_2,y_3,y_4$ , 單位是 元 / 小時 ;

約束方程分析 :

• 產品甲利潤約束 : 四種設備的租賃價格 , 不能低于生產甲產品帶來的利潤 , 如果生產產品甲 , 需要使用 $A$ 設備 $2$ 小時 , $B$ 設備 $1$ 小時 , $C$ 設備 $4$ 小時 , $D$ 設備 $0$ 小時 , 四種設備的租賃價格是 $2y_1+y_2+4y_3+0y_4$ , 該租賃價格總和不能少于 $2$ , 因此有約束方程 : $2y_1+y_2+4y_3+0y_4\ge 2$
• 產品已利潤約束 : 四種設備的租賃價格 , 不能低于生產甲產品帶來的利潤 , 如果生產產品乙 , 需要使用 $A$ 設備 $2$ 小時 , $B$ 設備 $2$ 小時 , $C$ 設備 $0$ 小時 , $D$ 設備 $4$ 小時 , 四種設備的租賃價格是 $2y_1+2y_2+0y_3+4y_4$ , 該租賃價格總和不能少于 $3$ , 因此有約束方程 : $2y_1+2y_2+0y_3+4y_4\ge 3$

變量約束 : 四種設備的租賃價格必須是大于等于 $0$ , 肯定沒有負數 ; $y_i\ge 0(i=1,2,3,4)$

目標函數 : 根據競爭原則 , 設備的租賃價格在不吃虧的前提下 , 盡量最低 , 這里需要求租賃價格的最小值 : $minW=12y_1+8y_2+16y_3+12y_4$ , 求最大值沒有任何意義 , 該租賃價格可以無限大 ;

線性規劃模型為 :

$$\begin{array}{l}minW=12y_1+8y_2+16y_3+12y_4\\ \\ s.t?\begin{array}{ll}2y_1+y_2+4y_3+0y_4\ge 2& \\ & \\ 2y_1+2y_2+0y_3+4y_4\ge 3& \\ & \\ y_j\ge 0& (j=1,2,3,4)\end{array}\end{array}$$

四、對偶問題引入

---

上述問題從不同角度出發 , 得到了兩個線性規劃 :

• 生產利潤最大化線性規劃模型 : 有 $2$ 個變量 , $4$ 個約束條件 , 目標函數求最大值 ;

• 設備租賃線性規劃模型 : 有 $4$ 個變量 , $2$ 個約束條件 , 目標函數求最小值 ;

兩個線性規劃之間的對比 :

• 生產利潤最大化線性性規劃模型 中的 $x_1$ 系數是 $?\begin{array}{c}2\\ \\ 1\\ \\ 4\\ \\ 0\end{array}?$ , 對應 設備租賃線性規劃模型 中的 約束方程 $2y_1+y_2+4y_3+0y_4\ge 2$系數 ;

• 生產利潤最大化線性性規劃模型 中的 $x_2$ 系數是 $?\begin{array}{c}2\\ \\ 2\\ \\ 0\\ \\ 4\end{array}?$ , 對應 設備租賃線性規劃模型 中的 約束方程 $2y_1+2y_2+0y_3+4y_4\ge 3$系數 ;

• 生產利潤最大化線性性規劃模型 中的 約束方程右側的常數是 $?\begin{array}{c}12\\ \\ 8\\ \\ 16\\ \\ 12\end{array}?$ , 對應 設備租賃線性規劃模型 中的 目標函數 $minW=12y_1+8y_2+16y_3+12y_4$系數 ;

• 生產利潤最大化線性性規劃模型 中的 目標函數系數 $maxZ=2x_1+3x_2$ , 對應 設備租賃線性規劃模型 中的 約束方程 右側的常數 $?\begin{array}{c}2\\ \\ 3\end{array}?$ ;

兩個線性規劃之間有上述特征 , 稱這兩個線性規劃問題是對偶問題 ;

生產利潤最大化線性性規劃模型 是原問題 , 記作 $LP$ , 設備租賃線性規劃模型 是原問題的對偶問題 , 記作 $DP$ ; 這兩個問題之間是有一定聯系的 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】对偶理论 : 对偶问题引入 ( 生产产品线性规划 | 设备租赁线性规划 | 对偶问题引入 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。