容斥原理 示例

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$24$ 個人

說英語 , 日語 , 德語 , 法語 的人數 $13,5,10,9$

同時說 英語 日語 人數 $2$

同時說 英語 德語 人數 $4$

同時說 英語 法語 人數 $4$

同時說 法語 德語 人數 $4$

說日語的人 不會 法語 德語 ;

求 只會說一種語言的人 ? 同時會說 英語 德語 法語 的人 ?

單個語言集合 :

$A$ 集合表示會說英語的人的集合 , $|A|=13$ ;

$B$ 集合表示會說日語的人的集合 , $|B|=5$ ;

$C$ 集合表示會說德語的人的集合 , $|C|=10$ ;

$D$ 集合表示會說法語的人的集合 , $|D|=9$ ;

兩兩相交集合 :

$A\cap B$ 集合表示會說 英語 日語 的人的集合 , $|A\cap B|=2$ ;

$A\cap C$ 集合表示會說 英語 德語 的人的集合 , $|A\cap C|=4$ ;

$A\cap D$ 集合表示會說 英語 法語 的人的集合 , $|A\cap D|=4$ ;

$C\cap D$ 集合表示會說 德語 法語 的人的集合 , $|C\cap D|=4$ ;

會說日語的人 , 既不不會說法語 , 也不會說德語 , 說明集合 $B$ 與集合 $C,D$ 都不相交 ;

$|B\cap C|=|B\cap D|=|A\cap B\cap C|=|A\cap B\cap D|=|B\cap C\cap D|=|A\cap B\cap C\cap D|=0$

總的人數是 $24$ 人 : $|A\cup B\cup C\cup D|=24$

根據容斥原理 :

$|A\cup B\cup C\cup D|=$

$|A|+|B|+|C|+|D|$ 先將單個集合的個數相加

$?(|A\cap B|+|A\cap C|+|A\cap D|+|B\cap C|+|B\cap D|+|C\cap D|)$ 減去兩兩相交的元素個數

$+(|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|A\cap C\cap D|+|B\cap C\cap D|)$ 加上三三相交的元素個數

$?|A\cap B\cap C\cap D|$ 減去 四個集合相交的元素個數

$=24$

將上面的集合元素個數全部代入 :

$|A\cup B\cup C\cup D|=$

$13+5+10+9$ 先將單個集合的個數相加

$?(2+4+4+0+0+4)$ 減去兩兩相交的元素個數

$+(0+0+|A\cap C\cap D|+0)$ 加上三三相交的元素個數

$?0$ 減去 四個集合相交的元素個數

$=24$

計算后得到 :

$37?14+|A\cap C\cap D|=24$

$|A\cap C\cap D|=1$

同時會說英法德語的人 $|A\cap C\cap D|=1$ 只有 $1$ 個 ;

計算只會說英語的人 :

$|A|?|(B\cup C\cup D)\cap A|$

$=|A|?|(B\cap A)\cup (C\cap A)\cup (D\cap A)|$

使用容斥原理 , 計算 $|(B\cap A)\cup (C\cap A)\cup (D\cap A)|$

$|(B\cap A)\cup (C\cap A)\cup (D\cap A)|$

$=(|B\cap A|+|C\cap A|+|D\cap A|)$

$?(|A\cap B\cap C|+|A\cap B\cap D|+|A\cap C\cap D|)$

$+(|A\cap B\cap C\cap D|)$

$=(2+4+4)?(0+0+1)+(0)=9$

$|A|?|(B\cup C\cup D)\cap A|=|A|?|(B\cap A)\cup (C\cap A)\cup (D\cap A)|=13?9=4$

只會說英語的人有 $4$ 個 ;

按照上述步驟 , 計算出 其它 只說日語的人 $3$ 個 , 只說 德語 的人 3 個 , 只說法語的人 $2$ 個 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】容斥原理 ( 复杂示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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