文章目錄

• 一、組合恒等式 ( 變上項(xiàng)求和 1 )
• 二、組合恒等式證明方法 ( 三種 )
• 三、組合恒等式 ( 變上項(xiàng)求和 1 ) 證明

組合恒等式參考博客 :

• 【組合數(shù)學(xué)】組合恒等式 ( 遞推 組合恒等式 | 變下項(xiàng)求和 組合恒等式 簡(jiǎn)單和 | 變下項(xiàng)求和 組合恒等式 交錯(cuò)和 )
• 【組合數(shù)學(xué)】組合恒等式 ( 變下項(xiàng)求和 3 組合恒等式 | 變下項(xiàng)求和 4 組合恒等式 | 二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) 證明組合恒等式 | 使用已知組合恒等式證明組合恒等式 )

回顧四個(gè)變下項(xiàng)求和的組合恒等式 : 之前介紹的組合恒等式 中的組合數(shù) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ , 是下項(xiàng) $k$ 一直在累加改變 , 具有 $\sum _{k=0}^n$ 累加性質(zhì) , 上項(xiàng) $n$ 是不變的 ;

( 1 ) 簡(jiǎn)單和 : $\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=2^n$

( 2 ) 交錯(cuò)和 : $\sum _{k=0}^n(?1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$

( 3 ) 變下項(xiàng)求和 3 : $\sum _{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n{2}^{n?1}$

( 4 ) 變下項(xiàng)求和 4 : ${\sum }_{k=0}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n(n+1)2^{n?2}$

一、組合恒等式 ( 變上項(xiàng)求和 1 )

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變上項(xiàng)求和 1 :

$$\sum _{l=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$$

上述公式中 , 組合數(shù) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)$ 中 , 下項(xiàng) $k$ 是不變的 , 上項(xiàng) $l$ 一直是改變的 , 其取值范圍是 $0$ ~ $n$ ;

該表達(dá)式中有若干項(xiàng)都是 $0$ :

• 當(dāng) $l<k$ 時(shí) , $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)=0$ , 從 $l$ 個(gè)元素中選取 $k$ 個(gè)元素 , 沒有方案 ;
• 當(dāng) $l=k$ 時(shí) , $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)=1$ ;
• 當(dāng) $l>k$ 時(shí) , $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)$ 才為大于 $1$ 的值 ;

二、組合恒等式證明方法 ( 三種 )

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1 . 證明方法 : 之前使用過兩種證明方法 , ① 二項(xiàng)式定理 + 求導(dǎo) , ② 使用現(xiàn)有組合恒等式推導(dǎo) ;

在這里使用第三類證明方法 , ③ 組合分析 , 組合分析方法是要構(gòu)造一個(gè)組合計(jì)數(shù)問題 , 左邊和右邊都是同一個(gè)計(jì)數(shù)問題的解 ;

2 . 組合分析方法使用 : 使用組合分析方法證明組合數(shù)時(shí) , 先指定集合 , 指定元素 , 指定兩個(gè)計(jì)數(shù)問題 , 公式兩邊是對(duì)同一個(gè)問題的計(jì)數(shù) ;

指定計(jì)數(shù)問題 : 下面兩個(gè)計(jì)數(shù)問題都是同一個(gè)問題的計(jì)數(shù) ;

• ① 問題 1 : 等號(hào)左側(cè)代表的計(jì)數(shù)問題 ;
• ② 問題 2 : 等號(hào)右側(cè)代表的計(jì)數(shù)問題 ;

參考 : 【組合數(shù)學(xué)】二項(xiàng)式定理與組合恒等式 ( 二項(xiàng)式定理 | 三個(gè)組合恒等式 遞推式 | 遞推式 1 | 遞推式 2 | 遞推式 3 帕斯卡/楊輝三角公式 | 組合分析方法 | 遞推式組合恒等式特點(diǎn) ) 五、組合分析方法

3 . 組合分析方法使用總結(jié) : 使用組合分析方法證明組合數(shù)時(shí) , 先指定集合 , 指定元素 , 指定兩個(gè)計(jì)數(shù)問題 , 公式兩邊是對(duì)同一個(gè)問題的計(jì)數(shù) ;

三、組合恒等式 ( 變上項(xiàng)求和 1 ) 證明

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現(xiàn)在開始構(gòu)造選取問題 :

1 . 指定集合 : 假定有 $n+1$ 個(gè)元素的集合 , 記作 $S=\{a_1,a_2,?,a_{n+1}\}$ ,

2 . 指定等號(hào)右側(cè)的計(jì)數(shù)問題 : 從上述集合 $S$ 中 , 選取 $k+1$ 個(gè)元素的子集 , 選擇方法的個(gè)數(shù)是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$ 個(gè) ;

3 . 指定等號(hào)左側(cè)的計(jì)數(shù)問題 : 等號(hào)左側(cè)是 $\sum _{l=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{l}{k}\right)$ ;

計(jì)數(shù)問題類型確定 ( 分類選取 ) : 組合式中存在 和號(hào) $\sum$ , 說明該計(jì)數(shù)問題采用了 分類計(jì)數(shù)原理 , 對(duì)應(yīng)加法法則 ; 該計(jì)數(shù)問題肯定是分類選取 ;

$S$ 集合 , 從 $n+1$ 個(gè)元素中選取 $k+1$ 個(gè)元素 ;

( 1 ) 第 $1$ 類 , 指定某個(gè)特定元素 $a_1$ , 在子集中必須含有 $a_1$ , 則只能從剩余的 $n$ 個(gè)元素中選取 $k$ 個(gè) , 方案數(shù)是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ ;

( 2 ) 第 $2$ 類 , 與 第 $1$ 類不重疊 ,
不含 $a_1$ , 但是必須含有 $a_2$ ,
不含 $a_1$ 那就要從 $n$ 個(gè)元素中選取 ( 從 $n+1$ 個(gè)元素中去掉一個(gè) ) ,
必須含有 $a_2$ ( 從 $n$ 個(gè)元素中再去掉一個(gè), 即 $n?1$ 個(gè) ) , 那么就要從 $n?1$ 個(gè)元素中選取 $k$ 個(gè)元素 ,
最終結(jié)果是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?1}{k}\right)$

( 3 ) 第 $3$ 類 , 與 第 $1,2$ 類不重疊 ,
不含 $a_1,a_2$ , 但是必須含有 $a_3$ ,
不含 $a_1,a_2$ 那就要從 $n?1$ 個(gè)元素中選取 ( 從 $n+1$ 個(gè)元素中去掉 $2$ 個(gè) , 即 $n?1$ ) ,
必須含有 $a_3$ ( 從 $n?1$ 個(gè)元素中再去掉一個(gè), 即 $n?2$ 個(gè) ) , 那么就要從 $n?2$ 個(gè)元素中選取 $k$ 個(gè)元素 ,
最終結(jié)果是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n?2}{k}\right)$

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( 4 ) 第 $n+1$ 類 , 與 第 $1,2,?,n$ 類不重疊 ,
不含 $a_1,a_2,a_3,?,a_n$ , 但是必須含有 $a_{n+1}$ ,
不含 $a_1,a_2,a_3,?,a_n$ 那就要從 $1$ 個(gè)元素中選取 ( 從 $n+1$ 個(gè)元素中去掉 $n$ 個(gè) , 即 $1$ ) ,
必須含有 $a_{n+1}$ ( 從 $1$ 個(gè)元素中再去掉一個(gè), 即 $0$ 個(gè) ) , 那么就要從 $0$ 個(gè)元素中選取 $k$ 個(gè)元素 ,
最終結(jié)果是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{k}\right)$

5 . 在上述兩個(gè)計(jì)數(shù)問題都是同一個(gè)計(jì)數(shù)問題 , 都是從 $n+1$ 個(gè)元素中選取 $k+1$ 個(gè)元素 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】组合恒等式 ( 变上项求和 1 组合恒等式 | 三种组合恒等式证明方法总结 | 证明变上项求和 1 组合恒等式 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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