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• 一、限制條件的非降路徑數

一、限制條件的非降路徑數

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從 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數 ?

此時無法使用基本公式進行處理了 , 必須使用組合對應的思想 ;

上圖示例中 , 從 $(0,0)$ 出發到 $(n,n)$ , 只有兩個端點 $(0,0)$ 和 $(n,n)$ 接觸了對角線 , 中間的每一步都沒有接觸該對角線 ;

1 . 計算原理 , 先計算對角線下方的非降路徑 : 這里只計數在對角線下方的非降路徑數 , 因為 對角線上下的非降路徑是對稱的 , 因此這里 先將對角線下方的非降路徑計算出來 ;

對角線下方的非降路徑 乘以 $2$ , 就是總的 不接觸對角線的 非降路徑數 ;

2 . 出發點分析 : 從 $(0,0)$ 出發后 , 第 $1$ 步必須向右走 , 走到 $(1,0)$ 點 , 如果向上走就不能再下來了 ( 否則就會接觸對角線 ) , 此時就不是對角線下方的非降路徑了 ;

3 . 終止點分析 :

到達 $(n,n)$ 點 , 只有兩種情況 :

• 對角線上方 : 一種情況是從左邊 $(n?1,n)$ 到右邊的 $(n,n)$ 點 , 該路徑在對角線上方 ;
• 對角線下方 : 一種情況是從下邊 $(n,n?1)$ 到上邊的 $(n,n)$ 點 , 該路徑在對角線下方 ;

由于當前只統計 對角線下方的非降路徑數 , 到達 $(n,n)$ 之前的一步 , 必須是從 $(n,n?1)$ 位置走到 $(n,n)$ 的 ;

4 . 對應關系

上述 出發點之后必須走 $(1,0)$ 點 , 終點之前必須走 $(n,n?1)$ 點 ,

因此 在對角線下方 從 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

等價于

從 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

5 . 計算 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

下面討論 “從 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數” 的計數方式 ;

使用反向思路考慮 , 統計 從 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 之間 , 接觸過對角線的非降路徑 , 剩下的就是不接觸對角線的路徑 ;

上述兩者的總數是 $C(2n?2,n?1)$ 個 ;

上圖是 一個 “從 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ , 接觸過對角線的非降路徑” ,

圖中的 紅色點 $A$ 是該非降路徑最后接觸對角線的位置 , 前面可能有多次接觸該對角線 ;

將 $(1,0)$ 點 與 $A$ 點 之間的藍色線段 , 關于對角線作對稱圖像 , 得到 紅色線段 ,

上圖中的 藍色線段 起點是 $(1,0)$ , 那么對應的 紅色線段的起點必定是 $(0,1)$ ;

每一條從 $(1,0)$ 開始到 $(n,n?1)$ 的接觸對角線的非降路徑 , 都有藍色的線段 , 都可以使用對稱的方法 , 得到一個 從 $(0,1)$ 到達 $A$ 點的紅色線段 ;

這里就得到了一個組合對應關系 :

每條從 $(0,1)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的 非降路徑 ( 即將 紅色的線段 與 剩余的 黑色線段 可以拼接起來的路徑 )

都可以與

從 $(1,0)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的接觸對角線的 非降路徑

一一對應 ;

因此如果要求 "從 $(1,0)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的接觸對角線的 非降路徑數 " , 可以通過求 “從 $(0,1)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的 非降路徑數” ;

“從 $(0,1)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的 非降路徑數” 可以使用公式進行計算 , 結果為 $C(2n?2,n)$ ,

對應的 "從 $(1,0)$ 出發 , 到 $(n,n?1)$ 的接觸對角線的 非降路徑數 " , 結果為 $C(2n?2,n)$ ;

6 . 計算 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 的所有非降路徑數

根據公式計算即可 , 結果是 : $C(2n?2,n?1)$

7 . 計算 $(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

"$(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數" 就是

"$(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 的所有非降路徑數" 減去 "$(1,0)$ 到 $(n,n?1)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數" ;

$C(2n?2,n?1)?C(2n?2,n)$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n?1}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n}\right)$

8 . 計算 從 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

上面的 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n?1}\right)?\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n}\right)$ 只是計算的是對角線下面的非降路徑數 ,

從 $(0,0)$ 出發 , 到 $(n,n)$ 不接觸對角線的非降路徑數 , 再乘以 $2$ , 就得到了本題目的最終結果 ;

從 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 除端點外 , 不接觸對角線的非降路徑數

最終結果是 : $2[(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n?1})?(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n?2}{n})]$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】非降路径问题 ( 限制条件的非降路径数 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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