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• 一、遞推方程示例 1
• 二、遞推方程示例小結(jié)

一、遞推方程示例 1

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編碼系統(tǒng)使用 $8$ 進(jìn)制數(shù)字 , 對(duì)信息編碼 , $8$ 進(jìn)制數(shù)字只能取值 $0,1,2,3,4,5,6,7$ ,

只有當(dāng)某個(gè)編碼含有 偶數(shù)個(gè) $7$ 時(shí) , 該編碼才是有效的 ,

求 $n$ 位的編碼中有效的編碼個(gè)數(shù) ?

分析 :

$n$ 位長(zhǎng)的編碼 , 可以 由 $n?1$ 位長(zhǎng)的編碼 , 后面加上 一位 $8$ 進(jìn)制數(shù)字 構(gòu)成 ;

對(duì)于每個(gè) $n?1$ 位長(zhǎng)的編碼 , 后面加上一位數(shù)字 , 使得最終的編碼 滿足 有效編碼的要求 , 即含有偶數(shù)個(gè) $7$ , 就可以得到一個(gè)有效的 $n$ 位長(zhǎng)的編碼 ;

1 . 設(shè) $n$ 位長(zhǎng)的有效編碼個(gè)數(shù)是 $a_n$ 個(gè) ;

則有 $n?1$ 位長(zhǎng)的有效編碼個(gè)數(shù)是 $a_{n?1}$ 個(gè) ;

現(xiàn)在考慮 $n$ 位長(zhǎng)的編碼 與 $n?1$ 位長(zhǎng)的編碼之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系 ;

( 1 ) 偶數(shù)個(gè) $7$ : 假定當(dāng)前已經(jīng)有一個(gè) $n?1$ 位長(zhǎng)的 $8$ 進(jìn)制編碼串 , 恰好含有偶數(shù)個(gè) $7$ , 即該編碼已經(jīng)滿足有效編碼的要求 , 在加上一位數(shù)字 :

• 不可以加的數(shù)字 : 不能加 $7$ , 加了 $7$ 之后 , 就會(huì)變成 奇數(shù)個(gè) $7$ , 成為無(wú)效編碼 ;
• 可以加的數(shù)字 : 只能加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數(shù)字 , 這里有 $7$ 種方式 ;

由一個(gè) $n?1$ 位長(zhǎng)的 , 滿足要求的編碼 , 有 $7$ 種方式生成一個(gè) $n$ 位長(zhǎng)的編碼 ;

( 2 ) 奇數(shù)個(gè) $7$ : 假定當(dāng)前已經(jīng)有一個(gè) $n?1$ 位長(zhǎng)的 $8$ 進(jìn)制編碼串 , 恰好含有奇數(shù)個(gè) $7$ , 即該編碼不滿足有效編碼的要求 , 在加上一位數(shù)字 :

• 不可以加的數(shù)字 : 不能加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數(shù)字 , 加了以后 , 最終結(jié)果還是有奇數(shù)個(gè) $7$ , 不滿足有效編碼的要求 ;
• 可以加的數(shù)字 : 只能加 $7$ , 加了 $7$ 之后 , 就會(huì)變成 偶數(shù)個(gè) $7$ , 成為有效編碼 ;

由一個(gè) $n?1$ 位長(zhǎng)的 , 不滿足要求的編碼 , 有 $1$ 種方式生成一個(gè) $n$ 位長(zhǎng)的編碼 ;

3 . 總個(gè)數(shù) $8^{n?1}$ :

$n?1$ 位長(zhǎng)的編碼的總數(shù)是 $8^{n?1}$ 個(gè) , 每個(gè)位置都有 $8$ 種可能的選擇 , 有 $n?1$ 個(gè)位置 ;

又可以表述成 : $n?1$ 位長(zhǎng)的包括 , 奇數(shù)個(gè) $7$ , 偶數(shù)個(gè) $7$ , 的編碼總數(shù)是 $8^{n?1}$

編碼中如果沒(méi)有 $7$ , 是 $0$ 個(gè) $7$ , 算偶數(shù)個(gè) $7$ ;

4 . $n?1$ 位編碼的有效個(gè)數(shù) $a_{n?1}$ :

$n?1$ 位中 , 偶數(shù)個(gè) $7$ 的個(gè)數(shù) , 就是有效編碼的個(gè)數(shù) , 即上述假設(shè)的

“設(shè) $n$ 位長(zhǎng)的有效編碼個(gè)數(shù)是 $a_n$ 個(gè)” , 則有

"$n?1$ 位長(zhǎng)的有效編碼個(gè)數(shù)是 $a_{n?1}$ 個(gè)"

5 . $n?1$ 位編碼的無(wú)效個(gè)數(shù) $8^{n?1}?a_{n?1}$ :

$n?1$ 位長(zhǎng)的包括 奇數(shù)個(gè) $7$ , 偶數(shù)個(gè) $7$ 的 編碼總數(shù)是 $8^{n?1}$

$n?1$ 位中 , 偶數(shù)個(gè) $7$ 的個(gè)數(shù) , 就是 有效編碼的個(gè)數(shù) , 即上述假設(shè)的 $a_{n?1}$

則 $n?1$ 位中 , 奇數(shù)個(gè) $7$ 的個(gè)數(shù) , 就是無(wú)效編碼的個(gè)數(shù) , 即上述 總個(gè)數(shù)減去有效編碼個(gè)數(shù) , 結(jié)果是 :

$$8^{n?1}?a_{n?1}$$

6 . 分析第 $n$ 項(xiàng)與 $n?1$ 項(xiàng)之間的關(guān)系 , 即 $n$ 位有效編碼個(gè)數(shù) 與 $n?1$ 位有效編碼個(gè)數(shù) :

有效編碼個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的添加方法數(shù) : $n?1$ 位編碼的有效個(gè)數(shù) $a_{n?1}$ , 含有偶數(shù)個(gè) $7$ , 每個(gè)有效編碼 , 添加一位數(shù)字 , 組成 $n$ 位有效編碼 , 有 $7$ 種對(duì)應(yīng)的添加方式 , 即添加 $0,1,2,3,4,5,6$ 數(shù)字 , 七種方式 ; 方法數(shù)是 $7a_{n?1}$

無(wú)效編碼個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的添加方法數(shù) : $n?1$ 位編碼的無(wú)效個(gè)數(shù) $8^{n?1}?a_{n?1}$ , 還有奇數(shù)個(gè) $7$ , 每個(gè)無(wú)效編碼 , 只能添加一個(gè)數(shù)字 $7$ , 組成 $n$ 位有效編碼 , 只有一種方法 ; 方法數(shù)是 $8^{n?1}?a_{n?1}$

因此這里可以寫(xiě)出 $n$ 位編碼的有效個(gè)數(shù) $a_n$ 與 $n?1$ 位編碼有效個(gè)數(shù) $a_{n?1}$ 的關(guān)系 :

$a_n$ $=$ $7a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}?a_{n?1}$

化簡(jiǎn)后得到 :

$a_n$ $=$ $6a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}$

7 . 初值討論

如果只有 $1$ 位編碼 , 肯定不能是 $7$ , 這樣就含有奇數(shù)個(gè) ( $1$ 個(gè) ) $7$ , 是無(wú)效編碼 ;

只能是 $0,1,2,3,4,5,6$ 這 $7$ 種 , 因此有 $1$ 位編碼時(shí) , 有效編碼個(gè)數(shù)是 $7$ 個(gè) ,

產(chǎn)生 遞推方程初值 $a_1=7$

8 . 最終得到的遞推方程 :

遞推方程 : $a_n$ $=$ $6a_{n?1}$ $+$ $8^{n?1}$

初值 : $a_1=7$

解上述遞推方程的通項(xiàng)公式 : $a_n=\frac{6^n+8^n}{2}$

二、遞推方程示例小結(jié)

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該問(wèn)題是一個(gè)具體的計(jì)數(shù)問(wèn)題 , 上述問(wèn)題并不是簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù) ,

該計(jì)數(shù)帶參數(shù) $n$ ,

這種類型的計(jì)數(shù) , 可以看成一個(gè) 數(shù)列計(jì)數(shù)結(jié)果 ,

如果可以找到該數(shù)列 , 后項(xiàng) , 前項(xiàng) , 的依賴關(guān)系 ,

并且知道 初值 ,

就可以 解出該數(shù)列的通項(xiàng)公式 ,

該通項(xiàng)公式就恰好對(duì)應(yīng)該計(jì)數(shù)結(jié)果 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 递推方程示例 1 | 列出递推方程 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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