文章目錄

• 一、遞推方程標準型及通解
• 二、遞推方程通解證明

一、遞推方程標準型及通解

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$H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k=0,f(n)=0$

上述方程左側 與 “常系數(shù)線性齊次遞推方程” 是一樣的 , 但是右側不是 $0$ , 而是一個基于 $n$ 的 函數(shù) $f(n)$ , 這種類型的遞推方程稱為 “常系數(shù)線性非齊次遞推方程” ;

則上述遞推方程的通解如下 :

$\overline{H(n)}$ 是上述遞推方程對應 “常系數(shù)線性齊次遞推方程” $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=0$ 的通解 ,

$H^{?}(n)$ 是一個特解 ,

“常系數(shù)線性非齊次遞推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{?}(n)$

“常系數(shù)線性非齊次遞推方程” 是 “常系數(shù)線性齊次遞推方程” 的 齊次通解 , 加上一個 特解 ;

常系數(shù)線性非齊次遞推方程 : $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$
常系數(shù)線性齊次遞推方程 : $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=0$

$H^{?}(n)$ 特解 , 是一個能使得方程左右相等的特定函數(shù) ,

將 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{?}(n)$ 通解 代入到 $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$ 的左部 ,

將帶 上劃線 的 $\overline{H(n)}$ 項合并 , 一定為 $0$ ,

將帶 $?$ 星號 的 $H^{?}(n)$ 項合并 , 一定為 $f(n)$ ,

$0+f(n)$ 最終結果還是 $f(n)$ , 與右側的 $f(n)$ 相等 ;

遞推方程的任何一個解 , 都是一個 齊次通解 , 加上 一個特解 的格式 ;

二、遞推方程通解證明

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證明 : 遞推方程的通解 , 一定 是一個 齊次通解 , 加上 一個特解 的格式 ;

遞推方程 : $H(n)?a_{1}H(n?1)???a_{k}H(n?k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k=0,f(n)=0$

假設 $h(n)$ 是遞推方程的通解 , 證明該 $h(n)$ 是一個 齊次通解 , 加上 一個特解 之和 ;

將 $h(n)$ 代入上述遞推方程中 ,

① $h(n)?a_{1}h(n?1)???a_{k}h(n?k)=f(n)$

特解 $H^{?}(n)$ 也是遞推方程的解 , 將 $H^{?}(n)$ 代入遞推方程 , 左右也是相等的 ,

② $H^{?}(n)?a_1{H}^{?}(n?1)???a_k{H}^{?}(n?k)=f(n)$

將上述 ① ② 兩個等式的 左部與左部相減 , 右部與右部相減 ,

$(h(n)?a_{1}h(n?1)???a_{k}h(n?k))$ $?$ $(H^{?}(n)?a_1{H}^{?}(n?1)???a_k{H}^{?}(n?k))$ $=0$

合并上式中的項 :

$[h(n)?H^{?}(n)]?a_1[h(n?1)?H^{?}(n?1)]???a_k[h(n?k)?H^{?}(n?k)]=0$

上述方程是齊次方程 , $h(n)?H^{?}(n)$ 是齊次方程的通解 ,

那么 $h(n)$ 就是 齊次方程通解 與 特解 $H^{?}(n)$ 相加 ;

因此 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{?}(n)$ 格式一定是通解 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程求解 | 递推方程标准型及通解 | 递推方程通解证明 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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