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• 一、常系數線性非齊次遞推方程 的 非齊次部分是 多項式 與 指數 組合方式
• 二、遞推方程通解的四種情況

一、常系數線性非齊次遞推方程 的 非齊次部分是 多項式 與 指數 組合方式

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如果 “常系數線性非齊次遞推方程” 的非齊次部分 , 是 $n$ 的 $t$ 次多項式 , 與 ${\beta }^n$ 的指數 , 的組合 ;

那么其特解的形式 , 是 $n$ 的 $t$ 次多項式 , 與 $P{\beta }^n$ 的 和 ;

遞推方程 : $a_n?2a_{n?1}=n+3^n$

初值 : $a_0=0$

通解形式 ( 重要 ) :

① 非齊次部分是 $n$ 的 $t$ 次多項式 :

• 特征根不為 $1$ , 特解是 $n$ 的 $t$ 次多項式 ;
• 如果特征根為 $1$ , 且重數為 $e$ , 那么特解是 $n$ 的 $t+e$ 次多項式 ;

② 非齊次部分是 $P{\beta }^n$ :

• 特征根不能是底 $\beta$ , 特解是 $P{\beta }^n$ ;
• 特征根是底 $\beta$ , 該特征根重數為 $e$ , 特解是 $P{n}^e{\beta }^n$ ;

③ 齊次部分沒有重根 : $H(n)=c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+?+c_k{q}_k^n$

④ 齊次部分有重根 : 通解第 $i$ 項 , 特征根 $q_i$ , 重數 $e_i$ , $H_i(n)=(c_{i1}+c_{i2}n+?+c_{i{e}_i}{n}^{e_i?1})q_i^n$ , 最終通解 $H(n)=\sum _{i=1}^t{H}_i(n)$ ;

參考博客 : 【組合數學】遞推方程 ( 常系數線性非齊次遞推方程 的 非齊次部分是 多項式 與 指數 組合方式 | 通解的四種情況 )

計算齊次部分通解 :

遞推方程齊次部分標準形式 : $a_n?2a_{n?1}=0$

特征方程 : $x?2=0$

特征根 : $x=2$

齊次部分通解 : $\overline{a_n}=c{2}^n$

計算非齊次部分通解 :

上述遞推方程非齊次部分是 $n+3^n$ , 由兩部分構成 :

$n$ 的 $t$ 次多項式 : $n$ , 特征根不為 $1$ , 對應的特解是 $n$ 的 $t$ 次多項式 , 形式為 $P_{1}n+P_2$ ;

${\beta }^n$ 指數 : $3^n$ , 特征根不是底 $3$ , 對應的特解是 $P{\beta }^n$ 形式 , 形式為 $P_3{3}^n$ ;

完整的特解 : $a_n^{?}=P_{1}n+P_2+P_3{3}^n$

將特解代入到遞推方程 :

$(P_{1}n+P_2+P_3{3}^n)?2[P_1(n?1)+P_2+P_3{3}^{n?1}]=n+3^n$

將左邊式子展開 :

$?P_{1}n+(2P_1?P_2)+P_3{3}^{n?1}=n+3^n$

根據分析 $n$ 的次冪項 , 常數項 , $3^n$ 項的對應關系 , 可以得到以下方程組 :

$?\begin{array}{l}?P_1=1\\ \\ 2P_1?P_2=0\\ \\ \frac{P_3}{3}=1\end{array}$

解上述方程組 , 結果為 :

$?\begin{array}{l}{P}_1=?1\\ \\ P_2=?2\\ \\ P_3=3\end{array}$

特解 : 將上述常數代入到 $a_n^{?}=P_{1}n+P_2+P_3{3}^n$ 中 , 得到最終特解 : $a_n^{?}=?n?2+3^{n+1}$ ;

齊次部分通解形式 : $\overline{a_n}=c{2}^n$

完整通解 : $a_n=\overline{a_n}+a_n^{?}=c{2}^n?n?2+3^{n+1}$

將初值 $a_0=0$ 代入上述通解 :

$c{2}^0?0?2+3^{0+1}=0$

$c?2+3=0$

$c=?1$

最終遞推方程的通解是 $a_n=2^n?n?2+3^{n+1}$

二、遞推方程通解的四種情況

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通解形式 ( 重要 ) :

① 非齊次部分是 $n$ 的 $t$ 次多項式 :

• 特征根不為 $1$ , 特解是 $n$ 的 $t$ 次多項式 ;
• 如果特征根為 $1$ , 且重數為 $e$ , 那么特解是 $n$ 的 $t+e$ 次多項式 ;

② 非齊次部分是 $P{\beta }^n$ :

• 特征根不能是底 $\beta$ , 特解是 $P{\beta }^n$ ;
• 特征根是底 $\beta$ , 該特征根重數為 $e$ , 特解是 $P{n}^e{\beta }^n$ ;

③ 齊次部分沒有重根 : $H(n)=c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+?+c_k{q}_k^n$

④ 齊次部分有重根 : 通解第 $i$ 項 , 特征根 $q_i$ , 重數 $e_i$ , $H_i(n)=(c_{i1}+c_{i2}n+?+c_{i{e}_i}{n}^{e_i?1})q_i^n$ , 最終通解 $H(n)=\sum _{i=1}^t{H}_i(n)$ ;

參考博客 : 【組合數學】遞推方程 ( 常系數線性非齊次遞推方程 的 非齊次部分是 多項式 與 指數 組合方式 | 通解的四種情況 )

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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